Какова степень многочлена: 7х^2у^5-6х^6+8х^5

7x^2y^5 - 6x^6 + 8x^5
Степень этого многочлена равна 7

Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует. Найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю. y´(x)=(8x2-x3+13)´=(8x2)´- (x3)´ + 13´ = 16x - 3x2 - существует при любых x. 16x-3x2=0 x(16-3x)=0 x1=0, x2=16/3=5 целых 1/3 - в этих точках функция y(x) принимает наименьшее или наибольшее значение. Когда производная меньше нуля, функция убывает. Когда производная больше нуля, функция возрастает. Посмотрим на знаки производной. При x<0 y´(x)<0. При 00. Значит, до x=0 функция y(x) убывает, а после x=0 - возрастает. Поэтому в точке x=0 функция будет принимать наименьшее значение на отрезке [-5; 5]. Найдем это наименьшее значение, подставив в y(x) вместо x ноль. Получаем: y(0) = 8*02 - 03+ 13=13, это и будет ответ.

x^4 - 12x^3 + ax^2 + bx + 81=0 
Если оно имеет 4 положительных корня, то его можно разложить
(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) = 0
Если раскрыть скобки и привести подобные, то мы получим теорему Виета для уравнения 4 степени:
{ x1 + x2 + x3 + x4 = 12
{ x1*x2 + x1*x3 + x1*x4 + x2*x3 + x2*x4 + x3*x4 = a
{ x1*x2*x3 + x1*x2*x4 + x1*x3*x4 + x2*x3*x4 = -b
{ x1*x2*x3*x4 = 81
Из 1 и 4 уравнения можно найти единственное целое решение:
x1 = x2 = x3 = x4 = 3
Тогда 2 и 3 уравнения запишутся так:
{ 3*3 + 3*3 + 3*3 + 3*3 + 3*3 + 3*3 = 54 = a
{ 3*3*3 + 3*3*3 + 3*3*3 + 3*3*3 = 108 = -b
a - b = 54 + 108 = 162
Корни могут быть не обязательно целыми, но разность a-b все равно останется такой же.
ответ: 162