Преобразуй в многочлен выражение: (6x+5)2

(6х+5)(6х+5)=12х²+60х+25

Дана функция y(x) = x³ – 3x + 3.  

1) Область определения функции. Так как функция не имеет дроби или корня, то нет ограничения в области её определения.  

D(y) = (−∞; +∞).

2) Четность и нечетность функции:  

Проверим функцию -  четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-x)^3-3*(-x)+3=-x^3+3x+3≠f(x)≠-f(x).

3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат Oy, для чего приравниваем x = 0: у = 0³ – 3*0 + 3 = 3.

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;3).

Найдем точки пересечения с осью абсцисс Ox, для чего надо решить кубическое уравнение x³ – 3x + 3 = 0.

Для вычисления корней данного кубического уравнения используем формулы Кардано.

Для начала нам надо привести наше уравнение до вида:  

y³ + py + q = 0. Для этого используются следующие формулы:

p=-b^2/(3a^2 )+c/a;  q=(2b^3)/(27a^3 )-bc/(3a^2 )+d/a,

где a - коэффициент при x³,

b - коэффициент при x²,

c - коэффициент при x,

d - свободный член.

Подставим наши значения в данные формулы, мы получим:

p=-0^2/(3*1^2 )+(-3)/1=-3;  q=(2*0^3)/(27*1^3 )-(0*(-3))/(3*1^2 )+3/1=3.

вычислим количество корней кубического уравнения. Если:

Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня;

Q < 0 — три вещественных корня;

Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трехкратный вещественный корень.

В нашем случае Q = 1,25, будем иметь один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.

А сами корни найдём по следующим формулам:

x_1=α+β-b/3a;

x_2,3=-(α+β)/2-b/3a∓i (α-β)/2 √3  ;

где   α=(-q/2+√Q)^(1/3)  ,   β=(-q/2-√Q)^(1/3).

Подставив наши значения в вышеуказанные формулы вычислим, что:

α = −0,7256, β = −1,3782.

x1= −2,1038;  x2,3 = 1.0519 ± i•0,5652.

4) Стационарные точки , интервалы возрастания и убывания функции , экстремумы функции

Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции: y’ = (x3 – 3x + 3)’ = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1).  

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых y′=0): 3(x2 – 1) = 0, x = ±1.

Получили две критических точки:  х = -1 и х = 1.  

Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

x = -2 -1 0 1 2

y' = 9 0 -3 0 9

При x ∈ (−1; 1) производная y′ < 0, поэтому функция убывает на данном промежутке.

При x ∈ (-∞; -1) U (1; ∞) производная y′ > 0, функция возрастает на данных промежутках. При этом x = -1 - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает, x = 1 - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает.

Значение функции в этих точках: у(-1) = 5,  у(1) = 1.

5) Дополнительные точки для построения графика функции  y(x) = x3 − 3x + 3:

 

x y

-3.0 -15

-2.5 -5.1

-2.0 1

-1.5 4.1

-1.0 5

-0.5 4.4

0 3

0.5 1.6

1.0 1

1.5 1.9

2.0 5

2.5 11.1

3.0 21

 

6) По полученным данным строим график, и отметим характерные точки (пересечения с осями и экстремумы).

График функции и это же решение с правильным форматированием приведены во вложении.

 

y=(x+2)^3/(x-1)^2

1)Найти область определения функции
выражений с корнем четной степени нет
знаменатель не равен нулю, значит х-1 не равен 0 значит х - не равен 1
область определения х є (-беск;1) U (1:+беск)

2)Чётность, нечётность функции
y(x)=(x+2)^3/(x-1)^2
y(-x)=(-x+2)^3/(-x-1)^2 не равно y(x)
y(-x)=(-x+2)^3/(-x-1)^2 не равно -y(x)
y(x)=(x+2)^3/(x-1)^2 не является ни четной ни нечетной

3)Непрерывность
y(x)=(x+2)^3/(x-1)^2 имеет точку разрыва при х=1

4)Критические точки
y(x)=(x+2)^3/(x-1)^2
y'(x)={3*(x+2)^2*(x-1)^2-(x+2)^3*2*(x-1)}/(x-1)^4 =
={3*(x-1)-2*(x+2)}*(x+2)^2/(x-1)^3=
=(3x-3-2x-4)*(x+2)^2/(x-1)^3=
=(x-7)*(x+2)^2/(x-1)^3

y'(x)=0 при
(x-7)*(x+2)^2/(x-1)^3=0
х=-2 x=1 х=7 - критические точки

5)Интервалы возрастания и убывания функции
 в точках x=1 и х = 7 производная меняет знак

интервалы возрастания
х є (7; +беск) U (-2;1) U (-беск ;-2)
интервалы убывания
х є (1;7)

6)Экстремумы функции
 в точках x=1 и х = 7 производная меняет знак
x=1 - локальный максимум
х = 7- локальный минимум

7)Критические точки второго рода
x=1  - критические точки 2 рода

8)Интервалы выпуклости и вогнутости функции
надо считать вторую производную - лень

9)Точки перегиба
то же самое

10)Асимптоты
вертикальная асимптота у=1
наклонная асимптота ищем в виде
у=ах+в
а = lim(y)/x=1
b=lim(y-a*x)=8

асимптота у = х+8

11)Построить график
график во вложении