Запишите в виде многочлена квадрат суммы выражения (n - 3) и выражения 3n

10n^2-18n+9 Это ответ

Воспользуемся формулой "сумма синусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности":

2sin ((x+y)/2)cos ((x-y)/2)= - √2;

из первого уравнения ⇒sin((x+y)/2)=sin (π/2)=1, поэтому второе уравнение превращается в 

sin((x-y)/2)=-√2/2;
(x-y)/2=-π/4+2πn или (x-y)/2=-3π/4+2πk;
x-y=-π/2+4πn или x-y=-3π/2+4πk. Чтобы получить ответ, сложим первое уравнение с получившимися и результат разделим на 2 (найдем x), а затем вычтем из первого получившиеся и результат разделим на 2 (найдем y).

x=π/4+2πn или x=-π/4+2πk;
y=3π/4-2πn или y= 5π/4-2πk

ответ: (π/4+2πn; 3π/4-2πn); (-π/4+2πk; 5π/4-2πk); n, k∈Z

Очевидно, что искать надо среди чисел, которые на 1 меньше полных квадратов, т.к. дробная часть корня этих чисел будет максимально приближена к 0,99. Т.к. √N=A,99xxx.., получаем неравенство √N≥A,99, √N≥A+0,99 обозначим  (1),
одновременно с этим должно выполняться неравенство √N<A+1 обозначим (2)
Т.к. число N  на 1 меньше полного квадрата, то √(N+1)=A+1 обозначим (3),
возведем обе части (3) в квадрат, получим N+1=A²+2A+1, N=A²+2A (4),
возведем  обе части (2)в квадрат, получим N<A²+2A+1, подставим N из (4), получим A²+2A<A²+2A+1, 0<1, что всегда выполняется, значит, при данных условиях неравенство (2) всегда выполняется.
Тогда, получаем, что нужно решить систему  √N≥A+0,99 (1), √(N+1)=A+1 (3), где
N,A - натуральные числа, и надо найти наименьшие.
Мы уже получили равенство (4) из равенства (3).
Возведем в квадрат обе части (1) и подставим N из (4):
N≥(A+0,99)², A²+2A≥A²+1,98A+0,9801, 0,02A≥0,9801, A≥0,9801/0,02, A≥49,005
ближайшее целое A=50, тогда √(N+1)=51, N+1=2601, N=2600
ответ: наименьшее N=2600