Решить в целых числах уравнение 1! +2! +3! +4! ++х! =у^2

я буду рассуждать следующим образом:

1. корни, которые видно сразу:

x=0, y=1 (т.к. 0! =1 по определению факториала)

x=0, y=-1

x=1, y=1

x=1, y=-1

факториала из отрицательного числа не существует, следовательно, все x > =0.

2. других корней нет, так как и левая, и правая части возрастают

рассмотрим f(x)=x! и g(x)=y^2

g(x) - это парабола, наклоненная на 90 градусов, т.е. ветви направлены вправо.

f(x)=x! ~x^x*ln(x) по ф-ле стирлинга, т.е. возрастает быстрее любой степенной функции, т.е. заведомо быстрее чем y^2. это можно доказать, рассмотрев производные этих функций, либо просто на графике показать. следовательно, точек пересечения графики этих функций кроме вышеназванных не имеют.

функция же f1(x)=1! +2! ++x! возрастает ещё быстрее, чем x! , следовательно, других корней у этого уравнения нет. 

3x^2+x-2≥0 3x^2+x-2=0;   d=b^2-4ac;   d=1-4*3*(-2)=1+24=25=5^2                                       x=(-b+-√d)/(2a); x1=(-1-5)/6=-1; x2=(-1+5)/6=2/3           +               -               + -/> x //////////////                     ////////////////////////// (-беск; -1] [2/3; +беск)

1-2cosx-sin^2  x=0 1-2cosx-(1-cos^2 x)=0 cos^2x-2cosx=0 cosx (cosx-2)=0 cosx=0           ili         cosx=2 x=π/2 +πn                   решений не имеет! это ответ 2)cos^2 x-2cosx-3=0 y=cosx;   y^2-2y-3=0; y1=3; y2=-1 cosx=3             ili       cosx=-1 нет решений                     x=π+2πn 3) sinx-cosx=0                   /cosx     tgx-1=0; x=π/4+πn