Найти канонический вид квадратичной формы f(x; y)=x²+12xy+y²

Коэффициенты: а11 = 1, а12 = 6, а22 = 1.
Составим характеристическое уравнение:
 | 1-λ  6  |
 |  6  1-λ | =0
(1-λ)²-36=0
(1-λ-6)(1-λ+6)=0
(-5-λ)(7-λ)=0
λ1=-5    λ2=7
F(x;y)=-5x²+7y²

Объяснение:

2sin²x/cos²x-5sinx*cosx/cos²x + 3*cos²x/cos²x=0

2*tg²x-5*tgx + 3=0 тригонометрическое квадратное уравнение

замена переменных

tgx=y

2y²-5y+3=0

D = (-5) ²-4*2*3=1

y₁=1, y₂=3/2. y₂=1,5

обратная замена:

y₁=1 tgx=1. x=arctg1+πn, n∈Z. x₁=π/4+πn, n∈Z

y₂=1,5 tgx=1,5 x₂=arctg1,5+πn, n∈Z

2. 2sin²x-5sinxcosx-3cos²x=0 |: cos²x≠0

2tg²x-5tgx-3=0

замена переменных: tgx=y

2y²-5y-3=0

D=25+24=49

y₁=3, y₂=-1/2

обратная замена:

y₁=3, tgx=3. x₁=arctg3+πn, n∈Z.

y₂=-1/2, tgx=-1/2. x=arctg (-1/2) +, x₂=-arctg (1/2) + πn, n∈Z

(3х+1) / (х+1).

Объяснение:

(6х² - 7х - 3)/(2х² - х - 3) =

1) Найдём корни квадратных трёхчленов и каждый из них разложим на множители:

a) 6х² - 7х - 3 = 6•( х - 3/2 )( x + 1/3) = 2•( х - 3/2 ) • 3•( x + 1/3) = (2x-3)(3x+1).

D = 49 - 4•6•(-3) = 49+72 = 121;

x1 = (7+11)/(2•6) = 3/2;

x2 = (7-11)/(2•6) = - 4/12 = - 1/3.

б) 2х² - х - 3 = 2•(х-3/2)(х+1) = (2х-3)(х+1).

D = 1 - 4•2•(-3) = 25;

x1 = (1+5)/(2•2) = 3/2;

x2 = (1-5)/(2•2) = - 4/4 = - 1.

2) Выполним сокращение дроби:

(6х² - 7х - 3)/(2х² - х - 3) = (2x-3)(3x+1) / (2х-3)(х+1) = (3х+1) / (х+1).