Выписаны первые несколько членов прогрессии: − 256; 128; − 64; … найдите сумму первых семи её членов.

B1=-256 b2=128 b2=b1*q q=b2/b1=128/-256=-1/2 это разность найдем сумму первых семи членов S7=b1(q^7 -1)/q-1=-256((-1/2)^7 -1)/-1/2 -1=-256(-1/128-1)/-3/2=2+256/-3/2=258*2/-3=86*(-2)=-172

    Философия Древней Греции, в своей основе, представляла учение о рациональном осмыслении существования мира. В те времена, никто не сомневался в божественном происхождении всего сущего, но учения о том, как, по какому принципу, создана окружающая действительность, оставили заметный след в науке и культуре Западного мира, ставших основой принципов и методов научного познания вселенной.

    Пифагор Самосский - загадочная, но достоверно существовавшая, личность. Являясь религиозным философом - идеалистом, он создал тайное учение, записи о котором вести запрещалось, поэтому до нас не дошло ни одного трактата самого Пифагора. О достижениях Пифагора и Пифагорейской школы, известно из свидетельств античных авторов, появившихся после 3 века до н. э.    

    Известно, что Пифагор родился, приблизительно, в 750 г. до н. э . в Самосе (или Сидоне). В 18 лет он покинул Грецию и, прожив в Египте 22 года, постиг тайные учения египетских мудрецов и магов, потом, в плену в Вавилоне, в течение 12-и лет, продолжал общение с членами магических тайных обществ.

    В 56 лет Пифагор вернулся на родину уже состоявшимся философом, - кстати, Пифагор, первым из греческих мудрецов, назвал себя философом - любителем мудрости, - и создал свою школу тайного учения.

    Девизом Пифагорейской школы можно назвать изречение "Цифры правят миром". Учение Пифагора делится на две части : научный подход к познанию мира и религиозно - мистические постулаты образа жизни. Второй частью предписывались нравственное и физическое очищение, как средство достижения идеального существования, в ней содержались сведения о круговороте человеческой жизни, морально - этические общечеловеческие  законы.

   Первая часть, тайное учение, была уделом посвященных. В ней содержались принципы построения вселенной и всего сущего. Пифагор считал, что миром правят числа, и, что познание мира - это познание чисел, им управляющих.

    Пифагорейская школа выдвинула гипотезу о количественной закономерности развития мира мира, что стало основой для развития точных наук.

    В Древней Греции, синонимом красоты была гармония. А философия включала в себя не только мудрые размышления о сущем, но и науку, искусства и спорт. Пифагорейцы искали математические основы гармонии, и открыли числовые отношения (пропорции) во всех сферах человеческой деятельности. Платон писал: "Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного."

    Благодаря поиску гармонии и открытию пропорций,  Пифагором была открыта математическая закономерность  музыкального звучания - Теория музыки. Это были бесценные опыты доказательства связи физического явления (звук) с математическими законами.

    Пифагор использовал три средние величины (а, может, и был их первооткрывателем): среднее арифметическое, геометрическое и гармоническое.

Он, первым, доказал теорему " В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов", носящую его  имя.

    Пифагор занимался изучением четных и нечетных чисел, применяя, впервые, дедуктивный метод исследования. (от частного - к общему). Одним из первых объектов изучения, в современной Теории чисел, была теория четных и нечетных чисел.

   Также, Пифагор доказал теорему о сумме внутренних углов треугольника, изобрел (по некоторым источникам), таблицу умножения в современном виде, нашел геометрический решения квадратных уравнений, разработал правила решения задач.

    Поскольку, в Пифагорейской школе, записи были под запретом, и знания передавались от учителя к ученикам устно, то, среди исследователей, есть разногласия по поводу авторства Пифагора в тех или иных исследованиях, проводившихся в рамках его школы. Приписываемые Пифагору открытия, вполне могут быть открытиями его учеников. Кроме того, существует мнение, что все, что было открыто, доказано и разработано школой, являлось интеллектуальной собственностью Пифагора. Несмотря на подобные разногласия. несомненно то, что школа была основана на научных и философских изысканиях Пифагора, в ее основу легли его теории существования вселенной и, все открытия школы имели заданное направление, поэтому, без сомнения, их можно считать открытиями самого великого философа.

   

   

   

   

   

   

Объяснение:

Задание 1

а)

aₙ=n( n+1)

если n=1, то  

а₁= 1*(1+1)= 1*2=2

если n=2, то  

а₂= 2*(2+1)= 2*3=6

если n=3, то

а₃= 3*(3+1)=3*4=12

а₁₀₀= 100*(100+1)= 100* 101= 10100    

б) Является ли 132 членом этой прогрессии?  

n*(n+1)= 132

n²+n-132=0

D= 1²-4*(-132)= 1+528=529

√D= 23

n₁= (-1+23)/2= 11

n₂= (-1-23)/2= -12 – не является корнем поскольку отрицательный , следовательно  

n= 11 , а это значит , что число 132 является 11 членом этой прогрессии

Задание 2

а)

xₙ=n(n-1)

если n=1, значит  

х₁=1*(1-1)=0

если n=2 , значит  

х₂=2*(2-1)=2

если n=3 ,значит  

х₃=3(3-1)=6

х₂₀= 20*(20-1)= 380

б)  

n*(n-1)=110

n²-n-110=0

D=1² -4*(-110)=441

√D= 21

n₁=(1-21)/2=-10 - не подходит, т.к. номер не может быть отрицательным

n₂=(1+21)/2=11

значит 11 член этой последовательности равен 110

Задание 3

Определения :

"Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом  d , называется арифметической прогрессией.  "

"Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число  q , называется геометрической прогрессией"

Поскольку

0-4=-4

4-8=-4

8-12=-4

Значит  d=-4

И это арифметическая прогрессия  

Продолжение будет  

0+(-4)= -4

-4+(-4)=-8

-8+(-4)= -12  

(xₙ):12,8,4;0;-4;-8 :-12

Поскольку :

-16 : (-32) = ½

-8 : (-16)= ½

-4 : (-8)= ½

Значит  

q=1/2.  И это геометрическая прогрессия.

продолжение :

(yₙ):-32,-16,-8;-4;-2;-1;.

б) bₙ =  b₁ * qⁿ⁻¹

b₁₂=-32(•1/2)¹²⁻¹=-32•(1/2)¹¹= -2⁵* (1/2)¹¹= (-1/2)⁶= -1/64.

Задание 4

Решаем по формуле первых n членов арифметической прогрессии.

a₁=100 руб

d=50 руб

n= 10 недель

Sn=( (2a₁+d*(n-1))/2)*n

S₁₀=((2*100+50*9)/2)*10=650/2*10

S₁₀=3250  руб.

ответ: через 10 недель сумма составит 3250 руб.

Задание 5

Первое двузначное число , которое делится на 3  это 12 , значит первый член арифметической прогрессии будет а₁=12.

Последнее двузначное число , которое делится на 3 это 99 , значит

аₙ = 99  

n=( (99-12)/3)+1=30

S₃₀=((a₁+a₃₀)/2)*n=(12+99)/2*30=1665  

Задание 6

По условию :  

q= -3  

S₄=-40

Из формулы первых n членов геометрической прогрессии, найдем  значение первого члена ряда b₁.

Sn= b₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q).

b₁* (1 - (- 3)⁴)/(1 - (- 3)) = - 40.

b₁ = (- 40) : (1 - 81)/(1 + 3) = - 40 * 4/(- 80) = 2.

Найдём сумму первых восьми членов ряда.

S₈= b₁* (1 - (- 3)⁸)/(1 - (- 3)) = 2 * (1 - 6561)/4 = - 6560/2 = - 3280.

ответ: S₈ = - 3280.

Задание 7

По формуле сложных процентов

S=k*(1+(p/100))ⁿ

где  

n- число периодов

к- первоначальная сумма

р- процентная ставка

S= 25000*(1+0,02)⁶=28154,06 руб.

Задание 8

По формуле сложных процентов

S=k*(1- (p/100))ⁿ

где  

n- число периодов

к- первоначальная сумма

р- процентная ставка

Число периодов , в данном случае будет :

n= 10 :2 = 5 , поскольку снижение цены происходило 1 раз в два года

S= 400000*(1-0,2)⁵= 131072 руб.