Решите . 100 .по теме"теорема безу." 1.выпишите строку коэффициентов многочлена: x^2+5x^4-7x^3-2x^5. 2.найдите значения многочлена непосредственной подстановкой и с схемы горнера: 3x^2+2x-4 при x=+-1, +-2, +-4. 3.найдите целые корни многочлена: 5x^3-19x^2+11x+3; 4.представьте в виде произведения многочленов: 5x^3+9x^2-5x-9;

1) -2 5 -7 1 0 0
2) С непосредственной подстановкой я думаю все ясно. А выполнить проверку с схемы Горнера можно найдя остаток от деления исходного многочлена на (x-x0) (ведь по теореме Безу и будет значением многочлена в точке x0). Схему Горнера тут неудобно оформлять, поэтому давай сам как нибудь.
3) В соответствии с теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коффициентами, целые корни должны быть делителями свободного члена 3.
Делители тройки: 1, -1, 3, -3. Убеждаемся что только числа 1 и 3 являются корнями. ответ: x=1, x=3
4) Сначала поищем целые корни. Проверим числа 1, -1, 3, -3, 9, -9. 1 - корень, поэтому делим  исходный многочлен на (x-1) и получаем
5x^2+14x+9. Теперь решаем квадратное уравнение находим еще два корня x=-9/5 и x=-1
Таким образом 5x^3+9x^2-5x-9=(x-1)(x+1)(5x+9)

1) 
Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной
- уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала

Интегрируя обе части уравнения, получаем

- общее решение


Разделяем переменные


интегрируя обе части уравнения, получаем

 - общий интеграл

Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует

Пример 3.
Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.


Итак, дифференциальное уравнение является однородным.
Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену 
, тогда 

Подставляем в исходное уравнение



Получили уравнение с разделяющимися переменными

Воспользуемся определением дифференциала



Разделяем переменные



Интегрируя обе части уравнения, получаем





Обратная замена

 - общий интеграл

Пример 4. 
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть , тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:


Тогда общее решение будет иметь вид:

 - общее решение

Пример 5. 
Аналогично с примером 4)
Пусть , тогда получаем


Общее решение: 

Найдем производную функции


Подставим начальные условия



 - частное решение

1) cos(x/3) > √3/2
Если нарисовать тригонометрический круг и отметить точки, где
cos a = √3/2, то есть a1 = pi/6 + 2pi*k; a2 = -pi/6 + 2pi*k,
то станет понятно, что решение неравенства:
x/3 ∈ (-pi/6 + 2pi*k; pi/6 + 2pi*k)
x ∈ (-pi/2 + 6pi*k; pi/2 + 6pi*k)
Это решение приведено на рисунке 1.

2) 3ctg(pi/6 + x/2) > -√3
ctg(pi/6 + x/2) > -√3/3
Здесь лучше показать решение на графике котангенса, рис. 2.
ctg a = -√3/3; a = 2pi/3 + pi*k;
ctg a не определен (условно равен +oo) при a = pi*k
pi/6 + x/2 ∈(pi*k; 2pi/3 + pi*k)
x/2 ∈ (-pi/6 + pi*k; 2pi/3 - pi/6 + pi*k) = (-pi/6 + pi*k; pi/2 + pi*k)
x ∈ (-pi/3 + 2pi*k; pi + 2pi*k)