5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15 ab^3 представьте в виде произведения

5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15 ab^3=5a(a^3+2a^2b-5ab^2-3 b^3)

1)
2sin(x/2)=3sin²(x/2)
2sin(x/2)-3sin²(x/2)=0
sin(x/2) (2-3sin(x/2))=0

a) sin(x/2)=0
x/2=πk, k∈Z
x=2πk,  k∈Z

b)  2-3sin(x/2)=0
-3sin(x/2)=-2
sin(x/2)=2/3
x/2=(-1)^n * arcsin(2/3)+πk,  k∈Z
x=2*(-1)^n * arcsin(2/3)+2πk,  k∈Z

ответ: 2πk,  k∈Z;
            2*(-1)^k*arcsin(2/3)+2πk, k∈Z.

2)
sin6xcosx+cos6xsinx=0.5
sin(6x+x)=0.5
sin7x=0.5
7x=(-1)^k*(π/6)+πk,  k∈Z
x=(-1)^k*(π/42)+(π/7)*k,  k∈Z

ответ: (-1)^k*(π/42)+(π/7)*k,  k∈Z.

3)
3sinx+4sin(π/2+x)=0
3sinx+4cosx=0
=0


a) При у=-1/2
,
k∈Z;

b)  При у=2

k∈Z.

ответ: k∈Z;
             k∈Z.

Чтобы выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, надо найти сумму или разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Выполните сложение алгебраических дробей:

а)   a + 3  +  a - 3         б)   2b - 1  +  b + 4

b b 2 2

Решение: складываем числители дробей и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

а)   a + 3  +  a - 3  =  (a + 3) + (a - 3)  =  a + 3 + a - 3  =  2a

b b b b b

б)   2b - 1  +  b + 4  =  (2b - 1) + (b + 4)  =  2b - 1 + b + 4  =  3b + 3

2 2 2 2 2

Пример 2. Выполните вычитание алгебраических дробей:

а)   x + 5  -  5x         б)   a + b  -  a + 4

3 3 a - 5 a - 5

Решение: вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

а)   x + 5  -  5x  =  x + 5 - 5x  =  5 - 4x

3 3 3 3

б)   a + b  -  a + 4  =  (a + b) - (a + 4)  =  a + b - a - 4  =  b - 4

a - 5 a - 5 a - 5 a - 5 a - 5

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями в виде общих формул:

a  +  b   =   a + b      и      a  -  b   =   a - b           (c≠0)

c c c c c c

Если дроби имеют знаменатели, состоящие из противоположных выражений, то есть выражений, отличающихся только знаком, надо тождественно преобразовать одну из дробей, чтобы привести их к общему знаменателю. Преобразование выполняется в соответствии с правилами знаков:

a  =  -a

b -b

Данное преобразование можно рассматривать как умножение числителя и знаменателя дроби на -1. Следовательно, если числитель и знаменатель алгебраической дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной. Полученную дробь можно переписать, поставив один из минусов перед дробью:

a  =  -a  = - a  = - -a

b -b -b b

Также, любую отрицательную дробь можно сделать положительной, перенеся минус, стоящий перед дробью, в числитель или знаменатель:

- a  =  -a  =  a

b b -b

Пример 1. Найдите сумму дробей:

5a  +  3a

b - c c - b

Решение: чтобы выполнить сложение, поменяем знаки перед второй дробью и в её знаменателе на противоположные:

5a  +  3a  =  5a  -  3a  =  5a  -  3a  =  2a

b - c c - b b - c -(c - b) b - c b - c b - c

Пример 2. Найдите разность дробей:

n + 5  -  2n

n2 - m m - n2

Решение: чтобы выполнить вычитание, перенесём знак минус, стоящий перед второй дробью, в её знаменатель:

n + 5  -  2n  =  n + 5  +  2n  =  n + 5  +  2n  =  3n + 5

n2 - m m - n2 n2 - m -(m - n2) n2 - m n2 - m n2 - m

Сложение и вычитание с разными знаменателями

Чтобы найти сумму или разность алгебраических дробей с разными знаменателями, надо:

найти общий знаменатель,

привести алгебраические дроби к общему знаменателю,

выполнить сложение или вычитание,

сократить полученную дробь, если это возможно.

Пример 1. Выполните сложение дробей:

2a  +  b

a + b a - b

Решение: находим общий знаменатель. Он будет равен произведению знаменателей данных дробей:

(a + b)(a - b)

Как находить общий знаменатель, Вы можете узнать на странице Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Далее умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:

2a(a - b) = 2a2 - 2ab

b(a + b) = ab + b2

Общий знаменатель можно свернуть в разность квадратов. В итоге у нас получится:

2a  +  b  =  2a2 - 2ab  +  ab + b2  =  

a + b a - b a2 - b2 a2 - b2

=  2a2 - 2ab + ab + b2  =  2a2 - ab + b2

a2 - b2 a2 - b2

Пример 2. Выполните вычитание дробей:

b  -  2

a2 - ab a - b

Решение: разложим знаменатель первой дроби на множители:

a2 - ab = a(a - b)

Так как данное выражение делится на знаменатель второй дроби, то возьмём его в качестве общего знаменателя. Значит, теперь нам надо умножить числитель второй дроби на дополнительный множитель a:

2 · a = 2a

Получаем:

b  -  2  =  b  -  2a  =  b - 2a

a2 - ab a - b a(a - b) a(a - b) a(a - b)

Пример 3. Выполните сложение:

x +  x2

1 - x

Решение: запишем первое слагаемое в виде дроби и приведём её к знаменателю 1 - x:

x +  x2  =  x  +  x2  =  x(1 - x)  +  x2  =  x - x2  +  x2

1 - x 1 1 - x 1 - x 1 - x 1 - x 1 - x

Теперь можно выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

x - x2  +  x2  =  x - x2 + x2  =  x

1 - x 1 - x 1 - x 1 - x

Точно также можно выполнять сложение и вычитание алгебраических дробей с любыми многочленами.

Объяснение: