Решите систему уравнений, 6y+1=5x+8 4y-5=5x+1

Из исходного равенства видно, что p>q,  в противном случае равенство не выполнялось бы. Предположим, что  p=q+k, где k - натуральное. Тогда 2q+k=(q+k-q)^3, отсюда 2q+k=k^3 или 2q=k^3-k=k(k^2-1). Тогда  q=k(k^2-1)/2. Отсюда сразу видно, что q будет простым только при k=2, поскольку при k=1 получаем 0, а при k>2 будем получать составные числа, а по условию q простое. Итак, при k=2, q=2*(2^2-1)/2=3. Тогда p=q+k=3+2=5. Это единственное решение удовлетворяющее данному равенству.

ответ: p=5, q=3.

p и q - простые =>  p + q > 0 => (p – q)³ > 0 => p – q > 0 => ∀ (p;q) ∃ n∈N: p – q = n => p = q + n

q+n+q=n^3 => q=(n^3-n)/2 => q = (n-1)n(n+1)/2

Из трех подряд идущих натуральных чисел одно делится на 3 =>  (n-1)n(n+1) ⁞ 3. Т.к. НОД(2, 3)=1, то q = (n-1)n(n+1)/2 ⁞ 3. Т.к. q простое, то q=3.

(n-1)n(n+1)=6

n натуральное => (n-1)³<6=>n-1<∛6<∛8=2 => n<2+1=3

n=1 => (n-1)n(n+1)=0≠6

n=2 => (n-1)n(n+1)=1*2*3=6 - верно => p=3+2=5 - простое

ответ: (5; 3)