Проверить лежит ли прямая x-1/2=y+3/-1=z+2/5 на плоскости 4x+3y+z+3=0 решить

(x-1)/2=(y+3)/-1=(z+2)/5    4x+3y+z+3=0
(x-1)/(3-1)=(y+3)/(-4+3)=(z+2)/(3+2)
Значит прямая проходит через точки A(1;-3;-2) и A2(3;-4;3)
Подставим координаты точек в уравнение плоскости
4*1+3*(-3)+(-2)+3=4-9-2+3=7-11=-4  -4≠0
Aне принадлежит плоскости,значит и вся прямая не принадлежит плоскости

Проверить лежит ли прямая (x-1) / 2=(y+3)/ (-1)=(z+2) / 5
на плоскости 4x+3y+z+3=0 .

n (4;3;1) → нормальный вектор плоскости ; 
s(2; -1;  -5) →направляющий вектор прямой  ; 
M₀(1;-3;-2) _произвольная точка на прямой.
составим скалярное произведение :
n.s =4*2+3*(-1)+1*(-5) =0   ⇒ n ⊥ s , т.е. прямая параллельно плоскости или лежит на ней, но  точка M₀(1;-3;-2)  не лежит на плоскости, действительно   
4*1+3*(-3)++1*(-5)+3 ≠0  (не удовл. уравн.),значит прямая не лежит  на плоскости.

Объяснение:

Поменяем местами 1-ю и 3-ю строки:

Вычитаем из 4-й строки 1-ю строку:

Вычитаем из 3-й строки 1-ю строку, умноженную на 3:

Разделим 2-ю строку на 3:

Суммируем  3-ю и 2-ю строку, умноженную на 7:

Суммируем  1-ю и 2-ю строку, умноженную на -3:

Суммируем  4-ю и 2-ю строку, умноженную на 2:

Поменяем местами 4-ю и 3-ю строки:

Суммируем  3-ю и 1-ю строки:

Суммируем  2-ю и 3-ю строку, умноженную на -1:

Суммируем  4-ю и 3-ю строку, умноженную на -3:

Разделим 4-ю строку на -16/3:

Суммируем  1-ю и 4-ю строку, умноженную на -4/3:

Суммируем  2-ю и 4-ю строку, умноженную на 8/3:

Суммируем  3-ю и 4-ю строку, умноженную на -10/3:

Для геометрической прогрессии со знаменателем Q и первым членом B₁  верно следующее: Bₙ = Qⁿ⁻¹ * B₁, откуда Qⁿ⁻¹ = Bₙ : B₁ = 1024 : 2 = 512. Итак, отмечаем: Qⁿ⁻¹ = 512. Формула для суммы первых n членов прогрессии:

Sₙ = B₁(Qⁿ - 1)/(Q - 1) = B₁(Q * Qⁿ⁻¹  – 1) / (Q – 1) = 2*(512Q - 1) / (Q - 1) = 2046 ⇒

1024Q - 2 = 2046(Q - 1) ⇒ 1024Q - 2 = 2046Q - 2046 ⇒

2046Q - 1024Q = 2046 - 2 ⇒ 1022Q = 2044 ⇒ Q = 2044 : 1022, Q = 2.

Далее Qⁿ⁻¹ = 512 ⇒ 2ⁿ⁻¹ = 512 = 2⁹ ⇒ n - 1 = 9, откуда n = N = 10,

за N заново обозначили количество членов данной прогрессии

ответ: Q = 2, N = 10

Проверка: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2046