Найти критические точки функции а) f(x) = 2 + 18x² - x⁴ б) f(x) = \frac{ x^{2} -3x}{x-4}

1
f`(x)=36x-4x³=4x(9-x²)=4x(3-x)(3+x)=0
критические точки x=0,x=3,x=-3
2
f`(x)=((2x-3)*(x-4)-1*(x²-3x))/(x-4)²=(2x²-8x-3x+12-x²+3x)/(x-4)²=
=(x²-8x+12)/(x-4)²=0
x²-8x+12=0
x1+x2=8 U x1*x2=12⇒x1=2 U x2=6
x-4=0⇒x=4
Критические точки x=2,x=6,x=4

критические точки -это точки в которых производная равна 0 или не существует

1.
1)  х-8  <0
   11+х
Используем метод интервалов:
(х-8)(11+х)<0

{(x-8)(x+11)<0      {(x-8)(x+11)<0
{11+x≠0               {x≠-11

Отметим нули функции f(x)=(x-8)(x+11):
х=8      х=-11
    +           -             +
-11 8
           
x∈(-11; 8)

2)   13+х   >0
      2,5х
{2.5x(13+x)>0     {x(x+13)>0
{2.5x≠0              {x≠0

x(x+13)>0
x=0     x=-13
    +            -           +
-13 0
                 
x∈(-∞; -13)∨(0; ∞)

3) х+7 <0
   3-х
{(x+7)(3-x)<0   {-(x-3)(x+7)<0       {(x-3)(x+7)>0
{3-x≠0             {x≠3                    {x≠3

(x-3)(x+7)>0
x=3     x=-7
    +           -          +
-7 3
             
x∈(-∞; -7)∨(3; ∞)
 
4) 2х-4 >0
    x+2
{(2x-4)(x+2)>0     {2(x-2)(x+2)>0     {(x-2)(x+2)>0
{x+2≠0               {x≠-2                   {x≠-2

(x-2)(x+2)>0
x=2    x=-2
     +          -         +
-2 2
             
x∈(-∞; -2)∨(2; ∞)

2.
1) (х-1)(х+1)≤0
   х=1     х=-1
     +         -         +
 -1  1
           
х∈[-1; 1]
х={-1; 0; 1} - целые решения неравенства

2) -х²-5х+6>0
    x²+5x-6<0
Парабола, ветви направлены вверх.
Нули функции:
х²+5х-6=0
Д=25+24=49
х₁=-5-7=-6
       2
х₂=-5+7=1
        2
     +       -          +
-6 1
           
x∈(-6; 1)
х={-5; -4; -3; -2; -1; 0}

3) 2+x-x²≥0
   -x²+x+2≥0
    x²-x-2≤0
  x²-x-2=0
 D=1+8=9
 x₁=1-3=-1
        2
  x₂=1+3=2
          2
      +         -         +
 -1 2
             
x∈[-1; 2]
х={-1; 0; 1; 2}

4) 3х²-7х+2<0
   3x²-7x+2=0
D=49-4*3*2=49-24=25
x₁=7-5 = 1 
       6     3
x₂= 12= 2
      6    
   +          -          +
1 2
         3  
x∈(¹/₃; 2)
х={1}

Решение:
 Пара чисел является решением  уравнения,если при подстановке их в уравнение получаем верное равенство 
1) (1;1)  2*1^2+1-3=0-верное равенство.
3) (3;-15)  2*9-15-3=0-верно равенство , Проверка показывает,что две другие точки не удовлетворяют уравнению.
 ответ: Решением  уравнения являются точки (1;1),(3;-15)
  2) Перепишем первое уравнение y=x^2-9 
      Найдем абсциссы точек пересечения графика .Решим уравнение
  x^2-9=0, x1=3,x2=-3 y=0 Получаем координаты двух точек М1(-3;0) ,М2(3;0). Координаты точки пересечения с осью ординат М3(0;-9)
 Аналогично  можно найти координаты  во втором задании.