Докажите что при любом натуральном n значение выражения 27^n + 12 кратно 13

По индукции:
- база. n = 1: 27^1 + 12 = 27 + 12 = 39 кратно 13.
- переход. Пусть утверждение верно для некоторого n = k. Докажем, что оно верно и для n = k + 1.
27^(k + 1) + 12 = 27 * 27^k + 12 = 27 * (27^k + 12) + (12 - 27 * 12) = 27 * (27^k + 12) - 26 * 12.
Первое слагаемое делится на 13 по предположению индукции, второе тоже делится на 13, значит, и всё число делится на 13. Индукционный переход доказан.
Значит, по принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных n.

а) x^2 + 4x + 10 >= 0

D = 4^2 - 4*10 = 16 - 40 = -24

a>0; D<0

(-∞;+∞)

ответ: 2. Решением неравенства является вся числовая прямая

b) - x^2 + 10x - 25 > 0/ *(-1)

x^2 - 10x + 25 < 0

D = -10^2 - 4 * 25 = 100 - 100 = 0

a>0; D=0

ответ: 1. Неравенство не имеет решений

с) x^2 + 3x + 2 <= 0

D = 3^2 - 4*2 = 9 - 8 = 1

a>0; D>0

x1 = -3 - 1/2 = -2

x2 = -3+1/2 = -1

[-2;-1]

ответ: 4. Решением неравенства является закрытый промежуток

d) -x^2 + 4 < 0/*(-1)

x^2 - 4 > 0

x^2 > 4/

x > 2

(2; +∞)

ответ: 5. Решением неравенства является открытый прпромежуток

1.

a)

x² + 4x + 10 ≥ 0

Рассмотрим функцию у = x² + 4x + 10.

Функция квадратичная, график - парабола, ветви направлены вверх.

Нули функции:

x² + 4x + 10 = 0

D = 16 - 40 = - 24 < 0

нулей нет, значит график не пересекает ось Ох.

Схематически график изображен на рис. 1.

у > 0  при x ∈ (- ∞; + ∞)

ответ: 2) Решением неравенства является вся числовая прямая.

b)

- x² + 10x - 25 > 0       | · (- 1)

x² - 10x + 25 < 0

Рассмотрим функцию у = x² - 10x + 25.

Функция квадратичная, график - парабола, ветви направлены вверх.

Нули функции:

x² - 10x + 25 = 0

(x - 5)² = 0

x = 5

Схематически график изображен на рис. 2.

у < 0  при x ∈ {∅}

ответ: 1) Неравенство не имеет решений.

c)

x² + 3x + 2 ≤ 0

Рассмотрим функцию у = x² + 3x + 2.

Функция квадратичная, график - парабола, ветви направлены вверх.

Нули функции:

x² + 3x + 2 = 0

D = 9 - 8 = 1

Схематически график изображен на рис. 3.

у ≤ 0  при x ∈ [- 2; - 1]

ответ: 4) Решением неравенства является закрытый промежуток.

d)

- x² + 4 < 0         |  · (- 1)

x² - 4 > 0

Рассмотрим функцию у = x² - 4.

Функция квадратичная, график - парабола, ветви направлены вверх.

Нули функции:

x² - 4 = 0

x² = 4

x = ± 2

Схематически график изображен на рис. 4.

у > 0  при x ∈ (- ∞; - 2) ∪ (2; + ∞)

ответ: 6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.

___________________________

2.

(x - a)(2x - 1)(x + b) > 0

x ∈(- 4; 1/2) ∪ (5; + ∞)

Решение неравенства показано на рис. 5.

Найдем нули функции у = (x - a)(2x - 1)(x + b).

(x - a)(2x - 1)(x + b) = 0

(x - a) = 0   или   (2x - 1) = 0    или   (x + b) = 0

x = a                      x = 1/2                  x = - b

Из решения неравенства следует, что нулями являются числа - 4, 1/2 и 5. Значит

 или  

 или  

ответ: a = - 4, b = - 5  или  a = 5, b = 4.