Найдите все значения аргумента, при которых значения функций .

В решении.

Объяснение:

1. Выполнить деление:

(27 + b³)/(81 - b⁴) : (b² - 3b + 9)/(b² + 9);

1) Преобразовать первую дробь:

в числителе сумма кубов, разложить по формуле:

3³ + b³ = (3 + b)(3² - 3b + b²) =

= (3 + b)(9 - 3b + b²);

В знаменателе разность кубов, развернуть:

81 - b⁴ = (9 - b²)(9 + b²);

Преобразованная первая дробь:

(3 + b)(9 - 3b + b²)/(9 - b²)(9 + b²);

2) Произвести деление:

  (3 + b)(9 - 3b + b²)/(9 - b²)(9 + b²) : (b² - 3b + 9)/(b² + 9) =

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а знаменатель первой умножить на числитель второй дроби:

= [(3 + b)(9 - 3b + b²) * (b² + 9)] / [(9 - b²)(9 + b²) * (9 - 3b + b²)] =

сократить (разделить) (9 - 3b + b²) и (9 - 3b + b²) на (9 - 3b + b²), (b² + 9) и )(9 + b²) на (9 + b²):

= (3 + b)/(9 - b²)=

в знаменателе разность квадратов, развернуть:

= (3 + b)/(3 - b)(3 + b)=

сократить (разделить) (3 + b) и (3 + b) на (3 + b):

= 1/(3 - b).  Последний ответ.

2. Избавиться от иррациональности в знаменателе.

5/(√11 - √6);

Нужно умножить дробь (числитель и знаменатель) на сопряжённое выражение (√11 + √6):

5/(√11 - √6) * (√11 + √6)/(√11 + √6) =

= [5 *  (√11 + √6)] / [ (√11 - √6) *  (√11 + √6)] =

в знаменателе развёрнута разность квадратов, свернуть:

= [5 *  (√11 + √6)] / [(√11)² - (√6)²] =

= [5 *  (√11 + √6)] / [11 - 6] =

=  [5 *  (√11 + √6)] / 5 =

сократить 5 и 5 =

= (√11 + √6).  Последний ответ.

3. Найти значение выражения 39a-15b+25, если (3a-6b+4)/(6a-3b+4)=7.

1) Избавиться от дробного вида второго выражения:

(3a-6b+4)/(6a-3b+4)=7

3a-6b+4 = 7(6a-3b+4)

раскрыть скобки:

3a-6b+4 = 42a - 21b + 28

привести подобные члены:

3a-6b-42+21b = 28-4

-39a+15b=24/-1

39a-15b= -24;

2) Подставить в первое выражение значение второго выражения:

39a-15b+25;

39a-15b= -24;

-24 + 25 = 1.

Так как члены представляют собой арифметическую прогрессию, то a2=a1+d, a5=a1+4d, где d - знаменатель арифметической прогрессии. Но так как эти же члены являются членами геометрической прогрессии, то a2=a1*q и a5=a1*q², где q - знаменатель геометрической прогрессии. По условию, a2+1=a1+1+d1, a5-3=a1+1+2d1, или a2=a1+d1, a5=a1+4+2d1. Из первого уравнения находим d1=d. Так как a5=a1+4d, то из второго уравнения следует уравнение 4d=4+2d, откуда d=2. Теперь, заменяя a2 на a1+2 и a5 на a1+8, получаем уравнения a1+2=a1*q, a1+8=a1*q². Из первого уравнения следует a1=2/(q-1). Подставляя это выражение во второе уравнение, приходим к квадратному уравнению q²-4q+3=0. Дискриминант D=(-4)²-4*1*3=4=2². Отсюда q=(4+2)/2=3 либо q=(4-2)/2=1. Но если q=1, то все члены геометрической прогрессии, а с ней и все члены исходной арифметической прогрессии, были бы равны, что было бы возможно лишь при d=0. Но так как d=2≠0, то q≠1. Значит, q=3. Тогда a1=2/(3-1)=1, и искомая сумма S100=100*(a1+a100)/2=50*(a1+a100). Но a100=a1+99d=1+99*2=199, и тогда S100=50*(1+199)=10 000. ответ: 10 000.