Докажите, что при любых значениях переменной значение квадратного трёхчлена: а)y^2-6y+10 положительно; б)-2y^2+4y-4 отрицательно.

а) y²-6y+10=y²-6y+9+1=(y-3)²+1
(y-3)²≥0 при любом у, поэтому всегда (y-3)²+1>0

б) -2y^2+4y-4=-(2y²-4y+4)=-(y²+y²-4y+4)=-(y²+(y-2)²)
y²+(y-2)² >0 при любом у, поэтому -(y²+(y-2)²)<0

Пусть собственная скорость катера v км/ч, а скорость течения  х км/ч
Тогда по течению катер плыл со скоростью, больше собственной на скорость течения реки и  проплыл 
3•(v+x)  
Против течения катер плыл со скоростью, меньшей на скорость течения реки и проплыл
5•(v-x),
а всего по течению и против –  92 км 
Составим уравнение:
3•(v+x) + 5•(v-x)=92 ⇒ 8v-2x=92 (1)
Известно, что
5•(v+x) - 6•(v-x)=10 ⇒ -v+11x=10 (2)
Составим систему из уравнений 1 и 2:
    
 

Домножим обе части  второго уравнения на 8 и получим:


Сложив уравнения, получим 
         86x=192 ⇒  x=2 

Из уравнения  8v - 2x=92 находим скорость течения реки=2 км/ч ⇒
 8v - 4=92 ;
 8v=96  ⇒ v=12 км/ч - это скорость катера. 

ответ: Скорость течения 2 км/ч, катера = 12 км/ч

Пусть х км в час - собственная скорость катера, у км в час - скорость течения реки.
Тогда (х+у) км в час - скорость катера по течению,
(х-у) км в час - скорость катера против течения.

3·(х+у) км путь катера по течению за 3 часа.
5·(х-у) км путь катера против течения за 5 часов.
Всего по условию задачи 92 км.
Первое уравнение:
3·(х+у) + 5·(х-у) = 92;

5·(х+у) км путь катера по течению за 5 часов.
6·(х-у) км путь катера против течения за 6 часов.
По условию задачи  5·(х+у) больше  6·(х-у) на 10.
Второе уравнение:
5·(х+у) - 6·(х-у) = 10.

Получена система двух уравнений с двумя переменными.
{3·(х+у) + 5·(х-у) = 92   ⇒{3x+3y+5x-5y=92  ⇒  { 8x-2y=92  ⇒ {4x-y=46
{5·(х+у) - 6·(х-у) = 10    ⇒{5x+5y-6x+6y=10  ⇒  {-x+11y=10 ⇒ {x=11y-10

{4·(11y-10)-y=46
{x=11y-10

{44y-40-y=46
{x=11y-10

{43y=86
{x=11y-10

{y=2
{x=11·2-10=12

О т в е т. 12 км в час - собственная скорость катера, 2 км в час - скорость течения реки.

Источник: -