Можно ли утверждать , что при любом натуральном четном значении n значение выражения (5n+10) во второй степнеи -(2n+4)во второц степени делится нацело на 84

Можно.

Пусть n = 2k, k ∈ N. Преобразуем выражение:
(5*2k + 10)^2 - (2*2k + 4)^2 = (10k + 10)^2 - (4k + 4)^2 = 10^2 * (k + 1)^2 - 4^2 * (k + 1)^2 = 100(k + 1)^2 - 16(k + 1)^2 = 84(k + 1)^2

Очевидно, это произведение делится на 84.

Искать будем так - найдем частные производные функции, приравняем их к нулю и составим систему, найдем решение этой системы - стационарную точку, далее составим гессиан и по нему определим характер этой точки: если гессиан положительно определен, то стационарная точка есть точка минимума функции (локального или глобального), а если гессиан отрицательно определён, то стационарная точка есть точка максимума функции (локального или глобального). Так вот, если эта точка оказалась минимумом, то просто подставим ее в функцию, найдем ее значение и это будет ответ.





Гессиан состоит из констант, не зависящих от аргументов, поэтому данная функция имеет один глобальный экстремум. А так как гессиан положительно определен (оба главных минора матрицы положительные - 2 и 2*2-0*0=4), то полученная стационарная точка есть точка глобального минимума.

'

ответ - наименьшее значение функции = 6

38 см

Объяснение:

Пусть х см - одна из сторон прямоугольника, тогда (х + 5) см - другая сторона. Площадь прямоугольника равна 84 см².

Площадь находится по формуле S = ab, где a,b - стороны прямоугольника

х * (х + 5) = 84

х² + 5х = 84

х² + 5х - 84 = 0

D = 5² - 4 * 1 * (-84) = 25 + 336 = 361 = 19²

x₁ = (-5 - 19) / 2 = -24 / 2 = -12            ⇒ сторона не может быть отрицательна

x₂ = (-5 + 19) / 2 = 14 / 2 = 7

7 см - ширина прямоугольника

7 + 5 = 12 см - длина прямоугольника

Периметр находится по формуле P = 2 * (a + b), где a,b - стороны прямоугольника

2 * (7 + 12) = 2 * 19 = 38 см