На поле 10х10 для игры в морской бой необходимо расставить один корабль 1х4, два корабля 1х3, три корабля 1х2 и четыре корабля 1х1. корабли не должны иметь общих точек(даже вершин), но могут прилегать к границам квадрата. доказать, что если расставлять корабли в указанном порядке начиная с больших , то каждому кораблю найдётся место как бы их ни ставили на любое свободное место.

Нужно подсчитать суммарную площадь кораблей с окантовкой в один ряд.
у четырехпалубного 1x4 - 3x6 - 18
у двух трехпалубных 1x3 - 3x5 - 2*15=30
у трёх двухпалубных 1x2 - 3x4 - 3*12=36
у четырёх однопалубных 1x1 - 3x3- 4*9= 36
суммарная площадь больше ста, значит существуют нерасстовляемые в любом порядке варианты. Но мы начинаем с большого корабля. после него останется 100-18 = 82 свободных клетки.
после трехппалубных 82-30 = 52 свободных клетки
после двухпалубныx 52-36= 16 свободных клеток.
Очевидно что можно разместить четыре квадрата 1x1 на любом сочетании 16 свободных клетках.

Итак нам дано двухзначное число, такое что  х*х – четырёхзначное, а  х*х*х 
шестизначное. Так же известно, что цифры входящие в х*х и х*х*х составлены из 
цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Начнем с простого. 
Легко грубо оценить х, если х*х – четырёхразрядное число тогда 32<=Х<=99 
И также для шестизначного 47<=х*х*х<=99 
Значит, ищем Х среди множества целых чисел [47;99]   
Но с другой стороны можно сделать так: х*х*х*10000+х*х=А
Про число А нам известно, что сумма цифр А равна 45. Значит А делится на 9. 
Следовательно, сумма также делится на 9. Значит Х кратно 3. 
Несложно понять, что числа х*х*х и х*х – нечетные числа.   Значит и Х- тоже нечетное число 
Рассмотрим, какое число может стоять в разряде единиц в числе Х {1;3;5;7;9}   Если 1, тогда х*х*х и х*х оба числа имеют цифру 1 в разряде единиц, значит число А имеет две 1, а это противоречит условию. 
Если 3, тогда в разряде единиц х*х*х имеет 7, а х*х имеет 9. Значит потенциально подходит. 
Если 5, тогда х*х*х и х*х имеет цифру 5 в разряде единиц в обоих числах, значит число А имеет две 5, а это противоречит условию. 
Если 7, тогда х*х*х имеет цифру 3 и х*х имеет 9 в разряде единиц. Значит потенциально подходит. 
Если 9, тогда  х*х*х имеет цифру 9 и х*х имеет 1 в разряде единиц. Значит потенциально подходит.   
Претенденты на цифру в разряде единиц, это 3, 7 и 9.
Но не надо забывать, сумма цифр в разряде десятков и в разряде единиц, должно делится на 3. 
Не забывая что число Х находится в интервале от [47,99], рассмотрим эти варианты: 
Для цифры 3: Это 63 и 93. 
Для цифры 7: Это 57 и 87 
Для цифры 9: Это 69. Тривиально понятно, что число 99 не подойдет. (если не понятно то поясню, х^2 на конце даст 01, а x^3, понятно что даст на конце 99)   
Далее ничего умней не могу придумать как проверка пяти вариантов, откуда находим, что Х=69 
ответ 69  

3)Чтобы доказать тождество, нужно его решить.
2x^2((4x^2)^2 - 9) = 2x^2 (16x^4-9)
В левой части сворачиваем скобки в разницу квадратов, а в правой выносим общий множитель за скобки. Левая и правая часть выражения равны, тождество доказано.
4) a(a-c) + b(a-c)=(a+b)(a-c) для начала переставляем слагаемые, а потом выносим общие множители.
тот же самый метод: 3a(1-ab)+3b(1-ab)=3(1-ab)(a+b)
5) За х сторону прямоугольника, за у высоту.
тогда если x-2 и y+1 получится квадрат. Составим ураBнение
(x-2)(y+1)=xy-4
Т.к. получился квадрат, значит, его стороны равны. Приравниваем
x-2=y+1 , x=y+3. Выражаем икс, подставляем в уравнение выше
x-2y=-2, y+3-2y=-2, y=5 сторона прямоугольника, x=8 другая сторона прямоугольника
8-2=6 сторона квадрата.