Докажите что треугольник с вершинами в серединах сторон равнобедренного треугольника является равнобедренным.

Пусть АВС - равнобедренный треугольник, АВ=ВС, 
Е -середина АB, К -середина ВС, Т - середина АС
Нужно доказать, что ЕКТ - треугольник, с вершинами в серединах сторон треугольника является равнобедренным

Тогда ЕК, ЕТ, КТ - среднии линии треугольника АВС,
по свойству средних линий (средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны)
EK=AC/2; KT=AB/2; ET=BC/2
откуда получаем, что

KT=AB/2=BC/2=ET
по определению треугольник ЕКТ равнобедренный (так как у него есть две равные стороны)
Доказано.

Если правильно поняли то это оно

Существуют разные виды уравнение, и все они могут решаться по разному, сложные уравнения могут решаться геометрически, с формул высшей математики, существуют разные методы и подходы, аналитический метод решения уравнения.
Самый обычные линейные уравнения, зачастую к ним всё сходится 
решаются методом вынесение значение содержащей неизвестную в одну сторону, свободные члены в другую сторону, пример:
2x+3x-9=4x-5x-15
6x=-6
x=-1
Квадратные уравнения решается либо по теореме Виета, либо через Дискриминант, также 3 нюанса, если дискриминант равен 0 - ед решение, если больше 0 , то решения 2, если меньше 0 - решений нет
Показательные уравнения решаются также как и другие, но они сводятся к линейным, в старших классах учат свойства степений и к примеру уравнение вида:
2^x=2^(2x+1)
Сводится к линейному, так как у него одинаковые основания.
x=2x+1
-x=1
x=-1.
С логарифмическами уравнения тоже самое что и с показательными, но там еще больше свойств)
Уравнения высших степений решаются с группировки, либо теоремы Безу, либо через схему Горнера, либо геометрически, либо через производную,замену и т.д, вариантов кучу.. Но из школьного курса это максимум замена, группировка.
Тригонометрические уравнения решаются совершенно отличимо от других уравнений, там нужно знать таблицу углов, период, чётность, и кучу формул по преобразований... 
Уравнения с модулями и иррациональные с корнями, решаются раскрытием знака модуля (с модулями), возведением обоих частей  в квадрат ( с корнями), с наложением конечно же ОДЗ... и другими можно и геометрическими).
А в университете ты вообще поймёшь, что всё что ты не мог решить в школе оказывается решить можно, ведь кто бы мог подумать что корень из -1 существует и равен мнимой единицы (i), так появились комплексные числа). Это очень огромный материал и твой вопрос через можно описывать бесконечно много)

1) Обозначит коэффициент пропорциональности через k , тогда измерения прямоугольного параллелепипеда будут 2k , 3k , 4k . Объём равен произведению трёх измерений
V = a * b * c
2k * 3k * 4k = 192
24k³ = 192
k³ = 8
k = 2
Тогда его измерения будут
2 * 2 = 4 дм             2 * 3 = 6 дм                   2 * 4 = 8 дм

2)  a - длина                   b -  ширина                   c - высота
Первоначальный объём равен
V = a * b * c = 4 * 6 * 8 = 192 дм³
Длина стала равна 4 + 2 = 6 дм,  а ширина 6 + 2 = 8 дм
Объём стал равен
V = 6 * 8 * 8 = 384 дм³
Объём увеличился на 384 - 192 = 192 дм³