На параболе у=х^2 найти точку, расстояние от которой до точки а (2; 0; 5) является наименьшим

Распишем формулу, с которой можно рассчитать квадрат расстояния от точки (2; 0,5) до точки с координатами (х; х^2). Почему квадрат? Просто чтобы не париться каждый раз писать значок квадратного корня и не усложнять потом нахождение производной - ведь функция х^2 возрастает на положительном участке числовой оси, т.е. если квадрат расстояния будет минимальным, то и само расстояние тоже будет минимальным. Итак, расписываем, чему равен квадрат расстояния:

Найдем производную, приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение, тем самым определим критическую точку (или критические точки):

Уравнение производной имеет только один корень, т.е. у функции есть лишь одна критическая точка. Исследуем промежутки монотонности:
при х<1    f'(x)<0, функция убывает;
при  х>1   f'(x)>0, функция возрастает;
это означает, что в точке х=1 находится минимум функции.
Итак, мы нашли точку параболы у=х^2, расстояние от которой до заданной точки минимально. Это точка с координатами х=1; у=1.

ответ: (1; 1)

1. Разделим обе части тригонометрического неравенства на √3 и освободимся от иррациональности в знаменателе:

√3tg(3x + π/6) < 1;

tg(3x + π/6) < 1/√3;

tg(3x + π/6) < √3/3.

2. Функция тангенс имеет период π, на промежутке (-π/2, π/2) возрастает, а значение √3/3 принимает в точке π/6:

3x + π/6 ∈ (-π/2 + πk, π/6 + πk), k ∈ Z;

3x ∈ (-π/2 - π/6 + πk, π/6 - π/6 + πk), k ∈ Z;

3x ∈ (-2π/3 + πk, πk), k ∈ Z;

x ∈ (-2π/9 + πk/3, πk/3), k ∈ Z.

ответ: (-2π/9 + πk/3, πk/3), k ∈ Z.

если не правильно, напишите в коменты(

номер 3

Пусть производительность одной трубы - х, другой - у. Тогда при совместной работе, если всю работу обозначить за единицу, им потребуется 2 часа. При отдельной работе разница во времени составляет 3 часа, составим систему:

1 / (х + у) = 2,

1/х - 1/у = 3.

Из первого уравнения выразим х и подставим во второе:

1 = 2 * (х + у), 1 = 2х + 2у, 2х = 1 - 2у, х = 0,5 - у.

1 / (0,5 - у) - 1/у = 3,

у - (0,5 - у) = 3 * у * (0,5 - у),

у - 0,5 + у = -3у2 + 1,5у,

3у2 + 0,5у - 0,5 = 0,

D = b2 - 4ac

D = 0,25 - 4 * 3 * (-0,5) = 6,25.

у = (-b ± √D) / 2a

у = (-0,5 ± 2,5) / 6

у1 = -1/2, у2 = 1/3.

Решением является только положительное значение у2 = 1/3.

2) х = 0,5 - 1/3 = 1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6.

Т.е. одна труба наполняет за 1 час 1/3 цистерны, а другая 1/6. Значит одной трубе нужно 3 часа, а другой нужно 6 часов, чтобы наполнить всю цистерну при отдельной работе. Поэтому ответ задачи - 3 часа, данной трубе требуется меньшее время.

ответ: необходимо 3 часа