Найдите количество целых решений неравенства |x+2|< 7x, принадлежащих отрезку [−100; 100].

1)x<-2
-x-2<7x
7x+x>-2
8x>-2
x>-0,25 
нет решения
2)x≥-2
x+2<7x
7x-x>2
6x>2
x>1/3
x∈(1/3;∞)
ответ отрезку принадлежат 100 целых решений от 1 до 100 включительно

Построим график функции

Для начала упростим функцию

Найдем знаки под модульного выражения



_-__-__(-2)__+__-__(2)__+__+__



Наименьшее положительное значение параметра а найдем с параллельности прямых

График функции  параллельный прямой  если угловые коэффициенты будут совпадать, т.е. 

Но нам важен положительный параметр, значит  - минимальный.

Исследуем когда график будет касаться в точке (2;4) и (-2;4)

Подставив значения х=2 и у=4, получим



При а=1 система уравнений имеет одно решение

Если подставить  и , получим



Наименьший параметр а=1.

Отыщем область значений указанной функции.
Для этого сначала преобразуем определённым образом подкоренное выражение для удобства: раскроем скобки, затем дважды используем формулу понижения степени, приведя выражение к квадратному трёхчлену относительно некоторой функции.


Таким образом, мы смогли привести подкоренное выражение к квадратному трёхчлену относительно sin4x. На всякий случай скажу, что в препоследнем равенстве с формулы понижения степени я выразил квадрат синуса через косинус удвоенного угла.

Теперь всё сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений полученного трёхчлена.  Если мы сделаем замену t = sin 4x, то получаем квадратный трёхчлен

, ветви соответствующей параболы которого направлены вниз в силу отрицательности коэффициента при квадрате. Найдём её абсциссу оси симметрии:
. Следовательно, квадратичная функция правее оси симметрии монотонно убывает, то есть, при . Поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. В частности, это происходит и на отрезке . Почему этот отрезок важен, так потому, что вспоминаем, что t - это у нас не переменная сама по себе, а синус, который принимает значения именно из указанного отрезка.

Итак, на отрезке [-1,1] квадратный трёхчлен относительно t убывает, поэтому наименьшее его значение достигается в правом конце(в точке 1), а наибольшее - в левом(в точке -1). То есть,
, где .
То есть, .

А тогда квадратный корень из этого выражения(в силу своей монотонности), даёт .
Теперь считаем, какие целые числа входят в полученную область значений.
0, 1, 2, 3 - и всё. Их ровно 4.