Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2π]: а) cos2x+3sinx=1. в) cos2x=cos²x

А) cos2x + 3sinx = 1
1 - 2sin²x + 3sinx - 1 = 0
-2sin²x + 3sinx = 0
2sin²x - 3sinx = 0
sinx(2sinx - 3) = 0
sinx = 0
x = πn, n ∈ Z
2sinx - 3 = 0
2sinx = 3
sinx = 3/2 - уравнение не имеет решений, т.к. sinx ∈ [-1; 1]
0 ≤ πn ≤ 2π, n ∈ Z
Понятно, что n = 0; 1; 2
x = 0; π; 2π.
ответ: x = 0; π; 2π.

в) cos2x = cos²x
cos²x - sin²x = cos²x
-sin²x = 0
sinx = 0 
x = πn, n ∈ Z
x = 0; π; 2π.
ответ: x = 0; π; 2π.

A) cos2x+3sinx=1. 1-2sin²x+3sinx=1, sinx(2sinx-3)=0, sinx=0, sinx=3/2 -не существует, х=πn, x∈[0;2π]х=0, π,2π;
в) cos2x=cos²2x, 2cos²2x-1-cos²x=0, cos²2x=1, cosx=±1, x=πn, x∈[0,2π]x=0,π,2π;

Скорость катера если он движется против течения получается: 12 км/ч - 4 км/ч = 8 км/ч.

Дальше вычисляем время по формуле: t = s : v, взятой из формулы пути: s = v * t:

t = 24км : 8 км/ч

t = 3 ч

ответ: 3 часа против течения.

Скорость катера, если он движется по течению получается: 12 км/ч + 4 км/ч = 16 км/ч.

Дальше вычисляем время по формуле: t = s : v, взятой из формулы пути: s = v * t:

t = 24 : 16

t = 1.5 ч

ответ: 1.5 часа по течению.

Если катер сначала плыл в одну сторону  по течению, значит обратно он плыл против течения (или наоборот, так как в условии в точности не сказано), поэтому мы складываем 2 получившихся времени:

Общее время = 1.5 ч + 3 ч = 4.5 ч

ответ: на весь путь затрачено 4.5 часа.

Х км/ ч - скорость катера в стоячей воде
у  км/ч - скорость течения реки (она же - скорость плота)
До встречи с плотом на обратном пути катер
96 - 24 = 72 км (против течения)
А плот за ЭТО же время км.
24/у - время движения плота до встречи
(96/(х+у) + 72/(х-у)) - время движения катера до встречи.против течения.
1)
Это одинаковое время, получим уравнение:
96/(х+у) + 72/(х-у) = 24у.

Сократим на 24 и получим:
4/(х+у) + 3/(х-у) = 1/у.

ОДЗ. х≠у;  у≠0



Приведём к общему знаменателю:


Дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю.
7ху-х²=0
Сократив на х≠0, получим:
7у - х = 0
х = 7у

2)
На 96 км по течению и 96 км против течения у катера ушло 14 часов.
Значит, имеем второе уравнение:
96/(х+у) + 96/(х-у) = 14.
Подставим вместо х его значение х = 7у
96/(7у+у) + 96/(7у-у) = 14.
96/8у + 96/6у = 14
Сократим:
12/у + 16/у = 14
28/у = 14
у = 28 : 14
у = 2 км/ч - скорость течения (или плота)

Т.к. х = 7у, находим х:
х = 7 · 2 = 14 км/ч - скорость катера

Проверка.
96:(14+2)+96:(14-2)= 96:16 + 96:12 = 6 + 8 = 14 час - время, которое затратил катер на весь путь туда и обратно.
 ответ: 14 км/ч - скорость катера в стоячей воде; 
             2  км/ч - скорость течения реки.