Используя метод непосредственного интегрирования, найти

Решение задачи с условием, что три последовательных числа - четные. (Ибо сумма любых трех последовательных чисел не кратна 6).

Пусть x (x∈N) - первое из трех последовательных четных чисел, тогда второе и третье равны x+2 и x+4 соответственно.

Запишем сумму
x+x+2+x+4=3x+6=3(x+6)

По признаку делимости, число кратно 6, если оно кратно 2 и 3. 

Очевидно, что 3(x+6) кратно трем, т.к. есть множитель 3. С учетом того, что x - четное число, можно заявить, что x+6 делится на 2, а значит все выражение кратно 6.

Доказано.

Площадь = интеграл от разности "верхней" и "нижней" функции.

Верхней здесь является у=3, нижней: y=x^2-1. Пределы интегрирования = точки пересечения графиков (в порядке возрастания расположены), а именно x^2-1=3, x=2 и х=-2. Т.е. пределы интегрирования: от -2 до +2.

интеграл (3 - x^2 + 1) dx = 3x - x^3 /3 + x = 4x - x^3 /3 = x*(4 - x^2 /3)

Подставляем вначале верхнее значение (+2), затем отнимаем значение при нижнем (-2):

2*(4-4/3)=2*(8/3) = 16/3

-2*(4-4/3) = -16/3

16/3 + 16/3 = 32/3 - это и есть площадь фигуры.

Рисунок - в прикреплении.