Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. найдите катеты треугольника.

Пусть один катет равен х, а второй у см. тогда по т. пифагора: х^2 + у^2 = 13^2. если один из его катетов увеличится на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. тогда ( х + 4)^2 + у^2 = 15^2. составим систему х^2 + у^2 = 13^2; ( х + 4)^2 + у^2 = 15^2 х^2 + у^2 = 13^2; х^2 + 8х + 16 +у^2 = 15^2; х^2 + у^2 = 13^2; (отнимнм от второго первое) х^2 + 8х + 16 +у^2 = 15^2; 8х + 16 = 225 - 169; 8х = 40; х = 5.

любое выражение в квадрате принимает наименьшее значение 0. сумма квадратов тоже принимает наименьшее значение 0. 

следовательно, наименьшее значение выражения 0. чтобы выражение было равно 0, нужно, чтобы либо первое слагаемое было х, а второе -х; либо первое слагаемое -х, а второе х; либо оба слагаемых должны быть равны 0. так как здесь сумма квадратов, то ни одно из слагаемых отрицательным быть не может => оба слагаемых равны 0. 

5х+4у+6=0                   3х+4у+2=0

выражаем 4у из обоих уравнений:

4у=-6-5х                       4у=-2-3х

приравниваем -6-5х=-2-3х

-2х=4

х=-2

подставляем х в одно из уравнений:

4у=-2-3*(-2)

4у=4

у=1

Пусть мест первой категории a шт., второй — b шт., третьей — c шт. тогда получится такая система: \left \{ {{a+b+c=300} \atop {5a+4b+3c=1250}} \right.{5a+4b+3c=1250a+b+c=300​ попробуем выяснить, как связаны a и c. для этого нужно избавиться от b. домножим первое уравнение на 4 и вычтем его из второго. \begin{lgathered}-\left \{ {{5a+4b+3c=1250} \atop {4a+4b+4c=1200}} \right. \\a-c=50\end{lgathered}−{4a+4b+4c=12005a+4b+3c=1250​a−c=50​ видим, что a больше c на 50. значит, на 50 больше мест первой категории, чем третьей. ответ: б)