Сумма трех чисел составляющих прогрессию равна 7 , а сумма их квадратов равна 21. найдите эти числа. с подробным решение, не пишите только ответ.

примем

а1 - первое число

а2 - второе число

а3 - третье число

к - постоянная прогрессии

тогда

а1+а2+а3=7

а1^2+а2^2+а3^2=21

а2=к*а1

а3=к*а2=к*к*а1=к^2*а1

а1+к*а1+к^2*а1=7

а1*(к^2+к+1)=7

а1=7/(к^2+к+1)

(7/(к^2+к+1))^2+(к*7/(к^2+к+1))^2+(к^2*7/(к^2+к+1))^2-21=0

(49+49*к^2+49*к^4)-21*(к^2+к+1)^2=0

28*к^4-42*к^3-14*к^2-42*к+28=0

2*к^4-3*к^3-к^2-3*к+2=0

2*k^4/k^2-3*k^3/k^2-k^2/k^2-3*k/k^2+2/k^2=0

2*k^2-3*k-1-3*k/k^2+2/k^2=0

2*k^2+2/k^2-3*k-3*k/k^2-1=0

2*(k^2+1/k^2)-3*(k-1/k^2)-1=0

k-1/k^2=> (k-1/k^2)^2=> x^2+1/x^2=x^2-2

2*x^2-3*x-5=0

квадратное уравнение,  решаем относительно  x: ищем дискриминант: d=(-3)^2-4*2*(-5)=9-4*2*(-5)=9-8*(-5)=*5)=)=9+40=49; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(7+3)/(2*2)=10/(2*2)=10/4=2.5; x_2=(-))/(2*2)=(-7+3)/(2*2)=-4/(2*2)=-4/4=-1.

k-1/k^2=2.> k^3-2.5*k^2-1=0

k-1/k^2=-> k^3+k^2-1=0

к=2

а1=1

а2=2*1=2

а3=2^2*1=4

 

 

 

 

Сколько корней имеет уравнение (cos2x-cosx)/sinx=0 на промежутке  [-2π; 2π   ]   ? одз:   sinx  ≠   0 .x  ≠  π*n , n  ∈ z   .  cos2x  -  cosx  = 0   ; 2cos²x -cosx -1 =0 ; замена  :       t =  cosx 2t² - t   -1 =0 ;   d =1² -4*2( -1) = 1+8 =9 =3 ² t₁  =(1+3)/4 =1  ⇒ cosx =1  ⇔  sinx  =  0    не удовлетворяет   одз . t₂  =(1-3)/4 =  -1/2  ⇒  cosx =  -1/2 . x =  ±  2π/3 +2π*k , k∈ z  .  x₁ = 2π/3 +2π*k , k∈ z  .  из них  два решения   на промежутке   [-2π; 2π  ] : -  4π/3    (если    k =  -1 )   и    2π/3 (если    k =0 )  . * * *  -  2π  ≤  2π/3 +2π*k   ≤  2π  ⇔  -1  ≤  1/3 +k   ≤  1  ⇔ -1 -   1/3  ≤  k   ≤  1 -1/3  ⇒ k = -1 ; 0   * * * x₂  = -2π/3 +2π*k , k∈ z  .из них  два решения   на промежутке   [-2π; 2π  ] :     -  2π/3    (если    k =  0 )   и      4π/3 (если    k =1 )  . * * *  -  2π  ≤  -2π/3 +2π*k   ≤  2π  ⇔  -1  ≤  -1/3 +k   ≤  1  ⇔ -1 +  1/3  ≤  k   ≤  1 +1/3  ⇒ k =   0 ; 1   * * * ответ  : 4  корней  на промежутке   [-2π; 2π  ]  . * * * * * * *  другой способ решения : (cos2x-cosx)  /  sinx  =  0 ⇔(системе)   {cos2x  -  cosx =  0 ;     sinx  ≠  0  .     * * * требование    sinx  ≠   0 определяет одз уравнения * * ** * *  cosα  -  cosβ =  - 2sin(α  -  β)/2*sin(α  +  β)/2   * * * cos2x  -  cosx =  0 ; -2sin(x/2)*sin(3x/2) =0.       a)  x/2 =π*k , k  ∈ z  ;   x =2π*k , k  ∈ z . b) 3x/2 =π*m , m  ∈ z  x =2π*m/3  , m  ∈ z серия   решений    x =2π*k    входит  в     x =2π*m/3   ,  если  m =3k    ∈ z  , т.е. общее решение уравнения   cos2x  -  cosx= 0    является                                 x =2π*m/3, m  ∈ z  . из   них нужно исключить  m=3n   x₁  =2π*(3n+1)/3 =2π/3 +2π*n  ,    n  ∈ z  . x₂  =2π*(3n -1)/3 =  -2π/3 +2π*n  ,    n  ∈ z  .

Координаты указанных точек, это значения х и у.  поэтому, подставив их в y=kx+b  можем составить систему уравнений:     { 9=k*(-4)+b { 4=k*6+b решаем систему уравнений методом подстановки: из второго уравнения выражаем b через k:     b=4-6k и подставляем его в первое уравнение: 9=-4k+4-6k 9=4-10k -10k=5 k=-0.5 подставляем значение k в выражение  b=4-6k получаем: b=4-6*(-0.5) b=4+3 b=7 теперь подставим вместо b и k их значения в  y=kx+b, получим: y=-0,5x+7 мы получили уравнение, график которого  проходит через точки м (-4; 9) и n (6; 4)