Найти координаты вершин и уравнения диагоналей квадрата, если известно уравнение одной стороны ab: x+y-4=0 и координаты точки пересечения диагоналей k (5, 2

Хорошая задача. Методами аналитической геометрии она решается в два счёта, но по-школьному надо немного подумать)
1. Уравнение y=-x+4; найдём уравнение, параллельное этой прямой, проходящее через точку пересечения диагоналей:
в общем виде оно будет y=-x+C, C надо найти. 2=-5+C; C=7. Уравнение имеет вид y=-x+7.
2. Надеюсь, очевидно, что расстояние между прямыми равно 3, следовательно, половина стороны квадрата тоже равно 3, полная сторона равна 6.
3. Сделав схематичную картиночку, поймём, что вычисленная прямая находится выше данной стороны, т.е. чтобы найти вторую сторону квадрата (опять же параллельную данной), нужно поднять вычисленную прямую ещё на 3, т.е. y=-x+7+3; y=-x+10.
4. Непараллельные стороны квадрата перпендикулярны. Условие перпендикулярности прямых: 
угловой коэффициент двух других сторон квадрата равен (-1)/(-1)=1.
Т.е. уравнения сторон имеют вид y=x+C. Найдём "центральную" сторону - ту, которая пересекается с другой "центральной" в точке пересечения диагоналей: y=x+C, 2=5+C, C=-3, y=x-3.
5. Для одной стороны прибавим, для другой вычтем 3:
y=x-3-3=x-6 и y=x-3+3=x, уравнения двух других сторон: y=x-6 и y=x.
6. Координаты вершин: 1)-x+10=x; 2x=10, x=5; y=5 (5;5); 2)-x+10=x-6, 2x=16, x=8, y=2 (8;2); 3)-x+4=x-6; 2x=10, x=5, y=-1 (5;-1); 4) -x+4=x, 2x=4, x=2, y=2 (2;2).
7. Найдём уравнение одной диагонали:
возьмём (5;5) и (5;-1). Очевидно, что это уравнение x=5. Но в общем случае пришлось бы подставлять в уравнение прямой x и y, решать систему двух уравнений относительно k и m. Для второй диагонали точки (8;2) и (2;2). y=2.
Как-то так.

cos²x +cos²y -sin²(x+y) = 2cosx  ;
(1+cos2x)/2 +(1+cos2y)/2 -(1-cos2(x+y))/2 = 2cosx  ;
1+cos2x +1+cos2y -1+cos2(x+y) = 4cosx  ;
(1+cos2(x+y) ) +(cos2x +cos2y )= 4cosx  ;
2cos²(x+y) +2cos(x+y)cos(x-y) = 4cosx  ;
2cos(x+y)( cos(x+y)+cos(x-y)) = 4cosx ;
2cos(x+y)*2 cosx*cosy = 4cosx ;
4cosx (cos(x+y)cosy -1) =0 ;
а) cosx =0 ;
x =π/2 +πk , k∈Z .
б) cos(x+y)cosy -1 =0 ⇔ cos(x+y)cosy=1 .
б₁)  {cos(x+y) = -1 ; cosy= -1.
{ x+y =π+2πk ; y = π+2πn ⇒{x=2π(k -n) ; y = π+2πn .
б₂)  {cos(x+y) =1 ; cosy= 1 ;
{x+y =2πk ; y = 2πn ⇒{x=2π(k -n) ; y = 2πn .

ответ в) 1100 руб.

Стоимость доставки М = х + п*у, где х - стоимость доставки к дому,
                                                       у - стоимость доставки на 1 этаж,
                                                       п - количество этажей
Тогда: М₄ = 890 = х + 4у
          М₇ = 980 = х + 7у    решаем систему

                 х = 980 - 7у  -  подставляем в 1-е уравнение:
               980 - 7у + 4 у = 890
                   90 = 3у
                     у = 30    тогда   х = 980 - у = 980 - 210 = 770
  
          и М₁₁ = 770 + 11*30 = 1100 (руб)