Из натуральных чисел от 1 до 321 включительно исключите все числа, делящиеся на 4, но не делящиеся на 5, и все числа, делящиеся на 5, но не делящиеся на 4.сколько чисел останется?

Числа, делящиеся на 4, но не делящиеся на 5:
4, 8, 12, 16, 24, 28, 32, 36, ..., 304, 308, 312, 316
В каждых 20 числах по 4 таких числа. Всего 320/20*4 = 64 числа.
Числа, делящиеся на 5, но не делящиеся на 4:
5, 10, 15, 25, 30, 35, ..., 305, 310, 315
В каждых 20 числах по 3 таких числа. Всего 320/20*3 = 48 чисел.
Итого от 321 числа останется 321 - 64 - 48 = 189 чисел.

Разложим оба числа на простые множители:

1960 = 980*2 = 490*2*2 = 275*2*2*2 = 49*5*2*2*2 = 7*7*5*2*2*2 = 7² * 5 * 2³

588 = 294*2 = 147*2*2 = 49*3*2*2 = 7*7*3*2*2 = 7² * 3 * 2²

После расложения, получаем:

1960 = 7² * 5¹ * 3⁰ * 2³

588 = 7² * 5⁰ * 3¹ * 2²

НОД(a, b) равен произведению множителей, которые входят в разложение на простые множители обоих чисел. То есть надо брать наименьшие степени из этих разложений.

7² входит и в то, и в другое число. 5⁰ < 5¹, поэтому для НОД мы возьмём наименьшую степень, то есть 5⁰. Аналогично, рассматривая тройки, возьмём 3⁰, а сравнивая двойки, возьмём 2²

НОД (1960, 588) = 7² * 5⁰ * 3⁰ * 2² = 49 * 4 = 196

НОК(a, b) равно произведению множителей, которые входят в хотя бы одно разложение чисел на простые множители. То есть надо брать наибольшие степени из этих разложений.

7² входит и в то, и в другое число. 5⁰ < 5¹, поэтому для НОК мы возьмём наибольшую степень, то есть 5¹. Аналогично, рассматривая тройки, возьмём 3¹, а сравнивая двойки, возьмём 2³.

НОК(1960, 588) = 7² * 5¹ * 3¹ * 2³ = 49 * 5 * 3 * 8 = 5880

Двузначное число, где а десятков и b единиц представим в виде 10a+b (это разложение числа по разрядам). Далее записываем условие задачи: 1) первое предложение

(10a+b):(a+b)=7(ост.3)    

10a+b=7(a+b)+3  

10a+b=7a+7b+3  

3a-6b=3

a-2b=1   - это первое уравнение системы.  

2) читаем второе предложение задачи

При перестановке цифр данного двузначного числа получим число 10b+a. Известно, что оно на 36 меньше, чем число 10a+b. Запишем это: 10a+b-36=10b+a

9a-9b=36  |:9

a-b=4 - это второе уравнение системы

Решаем систему:

Итак, искомое двузначное число равно 73.