Докажите что x³-x кратно 6. где x- целое число.

Как видим, перемножаются три последовательных целых числа. Значит, одно из них будет делиться на 2. Также одно из трёх будет делиться на 3. А раз произведение делится и на 2 и на 3, то оно делится и на 6.

См. приложение

Если представить на координатной плоскости 2 точки, то можно заметить прямоугольный треугольник.

Его катеты - разность соответственных координат А и В

Найдём катеты. Для этого из абсциссы А вычтем абсциссу В

5-2=3 - нижний катет треугольника

Теперь ординаты

3-(-1)=4 -  боковой катет.

По т. Пифагора легко можно найти гипотенузу, а именно она и будет расстоянием между двумя точками

S= - ответ к данной задаче

При чём не важно из какой точки вычитать координаты, потому что под корнем они возводятся в квадрат. Без проблем что что-то получится отрицательное.

Итого, расстояние между двумя точками с координатами (x₁:y₁) и (x₂:y₂)

Задание № 1:

Если x<−8 и y<−2, то неравенство их суммы верно x+y<−10.

ответ:  да

Задание № 2:

Если x>4 и y>3, то верным неравенством их произведения будет xy>12, значит, xy>7 - неверно.  

ответ:  нет

Задание № 3:

Сложим неравенства:  5x+y<3x+7 и 3y−4x<11−7x.

Преобразуем каждое неравенство:

1) 5x+y<3x+7 => 5x+y-3x<7  =>  2x+y<7

2)  3y−4x<11−7x   =>  3y−4x+7x<11  =>  3x+3y<11  

3) А теперь их сложим:

 2x+y<7  

      +

 3x+3y<11  

 5x+4y< 18

Oтвет:   5x+4y<18

Задание № 4:

Неравенство 2x²+5>0 при любых значениях x верно, т.к.

x²≥0 при любых значениях x верно

5>0

Сумма неотрицательного и положительного чисел всегда положительна , т.е.  2x²+5>0 при любых значениях x.

ответ:  да

Задание № 5:

Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин больше периметра треугольника.  

Это утверждение неверно, т.к. сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника

ответ:  нет

Задание № 6:

Известно, что a>b. Расположите в порядке возрастания числа: a+7, b−4, a+3, a, b−1, b.

ответ:  b−4;  b−1;  b;  a;  a+3;  a+7

Задание № 7:

Если a и b - положительные числа, причем a>b, то верно неравенство a²>b².

Докажем.

a²>b²

a²-b²>0

(a+b)(a-b)>0

1) (a+b)>0 верно, т.к. по условию a и b - положительные числа, значит, их сумма положительна

2) Из условия a>b    => a-b>0

3) Произведение положительных чисел тоже положительно, т.е.

(a+b)(a-b)>0  или a²>b².

ответ: да