Найдите область определения функции y=√x^2-3x-4 * √5x-x^2

Найдите область определения функции y=√x^2-3x-4 * √5x-x^2
квадратный корень существует, если подкоренное выражение неотрицательно. Значит, придётся решить систему неравенств:
x^2-3x- 4 ≥ 0     корни 4 и -1 ( по т. Виета)
5x-x^2 ≥ 0, ⇒   корни 0 и 5
-∞            -1                0           4             5            +∞
        +               -                 -          +              +         это знаки x^2-3x- 4
         -               -                 +          +              -          это знаки 5x-x^2 
                                                                   это решение
ответ: [4; 5]  

Найдем ОДЗ (Область допустимых значений). Т.к. на ноль делить нельзя, знаменатель не должен быть равен 0. Отсюда находим:

Дальше можно решить разными

Решим методом интервалов (более удобен):

Отмечаем точки ОДЗ и решения на координатной прямой, находим знаки для каждого промежутка и находим решение неравенства (см. прикрепленный рисунок).

P.S. Незакрашенные точки значат, что это значение не входит в промежуток (обозначается круглой скобочкой), а закрашенные - наоборот (обозначается квадратной скобочкой).

Решим с правила расщепления:

Т.е. существуют два случая, при которых частное может быть ≥ 0 (Нужно использовать >, < вместо ≥, ≤ соответственно для знаменателя, поскольку он не может быть равен 0):

или

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

Зная это правило, решаем неравенство:

Решим, для удобства, неравенства отдельно.

Первое:

Возможны два случая, когда произведение a × b может быть ≥ 0:

или

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

Второе:

Возможны два случая, когда произведение a × b может быть ≤ 0:

или

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

Вернемся к решению другой совокупности:

Учитывая ОДЗ, найдем решение:

Теперь решим другое неравенство.

Зная, что разделим наше неравенство на 4 системы:

Исходный график:

Растягиваем в два раза от оси y. Получим:

Выполняем симметрию относительно оси y. Получаем:

Выполняем сдвиг на п/6 единиц направо. Получаем:

Растягиваем в 2 раза от оси х. Получаем:

Выполняем симметрию относительно оси y. Получаем:

Выполняем сдвиг на 3 единицы вверх. Получаем искомый график:

Цепочку рассуждений можно упростить, если воспользоваться нечетностью функции синуса и преобразовать исходную функцию:

Тогда алгоритм действий будет следующий:

- растяжение в 2 раза от оси x

- сдвиг на п/6 единиц вправо

- растяжение в 2 раза от оси y

- сдвиг на 3 единицы вверх