В10ч велосипедист и мотоциклист выехали навстречу друг другу из городов, расстояние между которыми 176км. они встретились в 14ч. если бы велосипедист выехал в 13ч, а мотоциклист- в 9ч, то в 14ч им оставалось бы проехать до встречи 8км. найдите скорость мотоциклиста.

V₁  =  х  (км/ч) скорость велосипедиста
V₂  =  у  (км/ч)  скорость мотоциклиста
S = 176  (км )   расстояние

I часть задачи:
tв = 14 - 10  = 4 (ч.) время , через которое участники движения встретились
V сбл.  = V₁  + V₂  = S : tв   (км/ч)  скорость сближения ⇒ I уравнение:
х  + у   = 176 : 4

II часть задачи :
t₁= 14 - 13  = 1 (час) время в пути велосипедиста
S₁ = V₁t₁ =  1 * x  = x  (км) расстояние, которое велосипедист проехал
t₂ = 14  - 9  = 5 (часов) время в пути мотоциклиста
S₂ = V₂t₂ = 5y  ( км) расстояние, которое мотоциклист проехал
Весь путь :  S₁ + S₂   + 8 = S   ( км)   ⇒  II уравнение системы :
х  + 5у  + 8  =  176

Система уравнений: 
{ x  + y  =  176 : 4             ⇔ {x + y  = 44           ⇔ {x = 44 - y
{ x  + 5y  + 8   = 176         ⇔ {x +5y = 176 - 8    ⇔ {x + 5y  = 168
подстановки:
44 - у   + 5у  = 168
44 + 4у  = 168
4у = 168  - 44
4у = 124
у = 124 : 4
у = 31 (км/ч) скорость мотоциклиста
х = 44 - 31 = 13 (км/ч) скорость велосипедиста 

Проверим:
(14-10)  * 13   + (14-10) *31  = 52 + 124 = 176 (км)  расстояние между пунктами 
(14-13) * 13  + (14 - 9) * 31  = 13  + 155 = 168 (км)   расстояние, которое успели проехать участники движения
176 - 168 = 8 (км)  расстояние, которое осталось проехать до встречи

ответ: 13 км/ч скорость велосипедиста,  31 км/ч скорость мотоциклиста.

Обозначим cлагаемые за Х,У,Z

(X+Y+Z)/3>=1

Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :

ХУZ>=1

Вернемся к исходным обозначениям

8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)

Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим

a+b>=2sqrt(ab)   b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)

поэтому можим заменить сомножители справа на произведение

2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc,   что и доказывает неравенство.

Равенство достигается только при а=с=b

а)sin 2x=√3 cos x
2sinxcosx-√3cosx=0
cosx(2sinx-√3)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn,n∈Z
sinx=√3/2⇒x=(-1)^n*π/3+πk,k∈Z
б)sin 2x=√2 cos x
2sinxcosx-√2cosx=0
cosx(2sinx-√2)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn,n∈Z
sinx=√2/2⇒x=(-1)^n*π/4+πk,k∈Z в)sin(0,5п+x)+ sin 2x=0
г)cos(0,5п+x)+ sin 2x=0
-sinx+2sinxcosx=0
-sinx(1-2cosx)=0
sinx=0⇒x=πn,n∈Z
cosx=1/2⇒x=+-π/3+2πk,k∈Z
д)sin 4x+√3 sin 3x+sin 2x=0
2sin3xcosx+√3sin3x=0
sin3x(2cosx+√3)=0
sin3x=0⇒3x=πn,n∈Z⇒x=πn/3,n∈Z
cosx=-√3/2⇒x=+-5π/6+2πk,k∈Z
е)cos 3x+sin 5x=sin x
cos3x+sin5x-sinx=0
cos3x+2sin2xcos3x=0
cos3x(1+2sin2x)=0
cos3x=0⇒3x=π/2+πn,n∈Z⇒x=π/6+πn/3,n∈Z
sin2x=-1/2⇒2x=(-1)^(k+1)*π/6+πk,k∈Z⇒x=(-1)^(n+1)*π/12+πk/2,k∈Z