Как решать системы двух уравнений первого степени с двумя неизвестными

А подстановки состоит в том, что:

1) из одного уравнения мы находим выражение одного из неизвестных, например x, через известные величины и другое неизвестное у,

2) найденное выражение подставляем во второе уравнение, в котором после этой подстановки будет содержаться только одно неизвестное у;

3) решаем полученное уравнение и находим значение у; 4) подставляя найденное значение у в выражение неизвестного x, найденное в начале решения, получаем значение х.

Пример. Решить систему уравнений:

8x – 3y = 46,
5x + 6y = 13.

1) Из первого уравнения находим выражение х через данные числа и неизвестное у:2) Подставляем это выражение во второе уравнение:3) Решаем полученное уравнение:

5(46+3y)/8 + 48y/8 = 13,
5(46+3y) + 48y = 104,
230 + 15y + 48y = 104,
15y+48y = 104 – 230,
63y = - 126, y = - 2.

4) Найденное значение y = - 2 подставляем в выражение ; получаем, т.е. x = 5.

б сложения или вычитания состоит в том, что:

1) обе части одного уравнения умножаются на некоторый множитель; обе части второго уравнения умножаются на другой множитель. Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях после их умножения на эти множители имели одну, и ту же абсолютную величину.

2) Складываем два уравнения или вычитаем их друг из друга, смотря по тому, имеют ли уравненные коэффициенты различные или одинаковые знаки; этим одно из неизвестных исключается.

3) Решаем полученное уравнение с одним неизвестным.

4) Другое неизвестное можно найти тем же приемом, но обычно, проще всего подставить найденное значение первого неизвестного в любое из данных уравнений и решить получившееся уравнение с одним неизвестным.

Пример. Решить систему уравнений:

8x – 3y = 46,
5x + 6y = 13.

1) Проще всего уравнять абсолютные величины коэффициентов при у; обе части первого уравнения умножим на 2; обе части второго - на 1, т. е. оставляем второе уравнение неизменным:2) Складываем два уравнения:3) Решаем полученное уравнение:4) Подставляем значение x = 5 в первое уравнение;
имеем:
40 - 3y = 46; - 3y = 46 – 40; - 3y = 6.
Отсюда
сложения и вычитания следует предпочесть другим

1) когда в данных уравнениях абсолютные величины коэффициентов при одном из неизвестных равны (тогда первый из этапов решения становится ненужным);

2) когда сразу видно, что числовые коэффициенты при одном из неизвестных уравниваются с небольших целочисленных множителей;

3) когда коэффициенты уравнений содержат буквенные выражения.

Пример. Решить систему:

(a + c)x – (a – с)y = 2ab,
(a + b)x – (a - c)y = 2ac.

1) Уравниваем коэффициенты при х, помножая обе части первого уравнения на (a + b), а второго на (а + с), получаем:

(a + c)(a +b)x – (a + b)(a - c)y = 2ab(a + b),
(a +c)(a +b)x – (a-b)(a + c)y = 2ac(a +c).

2) Вычитаем из первого уравнения второе; получаем:

[(a - b)(a + c) – (a + b)(a - c)]y = 2ab(a + b) – 2ac(a + c).

3) Решаем полученное уравнение:Это выражение можно значительно упростить, для чего однако, потребуются довольно долгие преобразования. В числителе и знаменателе раскроем скобки,4) Чтобы найти x, уравняем коэффициенты при y в исходных уравнениях, помножив первое на (a - b), второе на (a - с). Вычтя одно полученное уравнение из другого, решим уравнение с одним неизвестным; найдем:Выполняя такие же преобразования, как в предыдущем пункте, получим х = b + c - a. Подстановка значения y d одно из исходных уравнений потребовала бы более утомительных вычислений; п

В решении.

Объяснение:

Памятка:  

Как найти сумму и разность многочленов А и В.

1) Записать в одну строку, второй многочлен в скобках, между ними знак + или -.  

2) Раскрыть скобки. Если между многочленами знак +, во втором многочлене знаки не меняются, если перед скобками знак -, меняются на противоположные.

3) Привести подобные члены.

4) Записать результат в стандартном виде, т.е., в порядке убывания степеней.

Найдите сумму многочленов:

7х² - 5х + 3 + (7х² - 5) =

=7х² - 5х + 3 + 7х² - 5 =

=14х² - 5х - 2.

Решение системы уравнений  х=2

                                                      у= -1

Объяснение:

Решить систему методом алгебраического сложения

3х+6у=0

2х-у-5=0​

Смысл метода алгебраического сложения в том, чтобы при сложении уравнений одно неизвестное взаимно уничтожилось. То есть, чтобы коэффициенты при неизвестном каком-то были одинаковыми, но с противоположными знаками. Для того, чтобы этого добиться, преобразовывают уравнения, можно умножать обе части уравнения на одно и то же число, делить.  

В данной системе нужно второе уравнение умножить на 6:

3х+6у=0

12х-6у=30

Складываем уравнения:

3х+12х+6у-6у=30

15х=30

х=30/15

х=2

Теперь значение х подставляем в любое из двух уравнений системы и вычисляем у:

3х+6у=0

6у= -3х

6у= -3*2

6у= -6

у= -1

Решение системы уравнений  х=2

                                                      у= -1