При каких значениях х имеет смысл выражения lg(x+37)+lg(111-2x)

При этом ОДЗ выражение имеет смысл

По определению:
sinx ≤ 1
Для положительных x:
sinx < x

сложим два неравенства:

2sinx < 1 + x

Значит, при k=1 всегда выполняется неравенство для любых положительных x

Так же оно выполняется для любых k > 1

Рассмотрим остальные k:

1) k∈(-∞; -1), т.е. k = (-1 - l), l > 0, для x∈(0; l)
2sinx < -1 - не выполняется ни при каких х

2) k∈[-1; 0), тогда для x∈(0; |k|) 
2sinx < -1 - не выполняется ни при каких х

3) k∈[0;1), для x∈(k; 1)
sinx < k  - должно выполняться для любых x, всегда найдется х, что неравенство не выполнится

ответ: k∈[1;+∞)

 Ортогональной проекцией ромба ABCD на плоскость, проходящую через вершину А ромба и параллельную его диагонали BD, является квадрат AB1C1D1 со стороной а. Найдите периметр ромба, если его диагональ АС равна m.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Плоскость  обозначаем  α  ,  известно   A ∈ α  и   α ||  BD .
Cторона ромба обозначаем через  x , периметр P ромба будет : P= 4x.
Известно :  4x² =AC² + BD²
(сумма квадратов диагоналей равно сумме квадратов сторон)
 √(4x²) =√(AC² +BD²) ⇔2x =√(AC² +BD²) =√(m² +BD²) ;
4x =2√(m² +BD²) ; остается определить  диагональ BD .
По условию задачи  A ∈ α   и  α  | | BD ⇒ BD =B₁D₁  
(BB₁D₁D  -прямоугольник :   BB₁ ⊥ α , DD₁ ⊥ α  BD  | | α  ) 
AB₁C₁D₁  квадрат со стороной  a , значит : B₁D₁² =AC₁² =a²+a²=2a²  ,  
с другой стороны  плоскость α || BD ⇒ BD =B₁D₁⇔ те BD² =B₁D₁² =2a².

Окончательно P = 4x =2√(m² +BD²) = 2√(m² +2a²) .

ответ :  P = 2√(m² +2a²) .