При якому значенні параметра k рівняння 2x^2+(k-9)x+k^2+3k+4=0 має дійсні і рівні корені?

Квадратное уравнение имеет действительные и равные корни, если D=0

Откуда

ответ: -7 и 1.

P(x)=ax²+bx+c
P(3)=a·3²+b·3+c             0= 9a +3b+c
P(1)=a·1+b·1+c              1= a + b +c
P(-1)=a·(-1)²+b·(-1)+c     0= a - b + c

Решаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:
0= 9a +3b+c
1= a + b +c    ⇒  сложим второе и третье уравнение : 2a+2c=1
0= a - b + c    ⇒ вычтем из второго третье:                  2b=1               

0= 9a +3b+c
2a+2c=1      ⇒выразим с через  c=(1-2a)/2 и подставим в первое урав
2b=1            ⇒  b=1/2  подставим в первое уравнение.

0= 9a+(3/2)+(1-2a)/2
0=18a+3+1-2a
16a=-4
a=-1/4
c=3/4

Итак,   Р(х)= (-1/4)х²+(1/2)х+(3/4)
        
          

Признак делимости на 9:
 Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9

Число М=123456789110911101111
Найдем сумму цифр этого числа.
Сумма цифр однозначных чисел натурального ряда
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 кратна 9
Число 123456789 кратно 9

Двузначные
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19    имеют сумму цифр 1·10 + 45
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29                                  2·10 + 45

90  91  92                                    99                                  9·10 + 45
45 в каждой строке кратно 9
1·10+2·10+...9·10 =450 кратно 9
Число 1234567891011121314151617181920...90919293949596979899 кратно 9
И так далее

Сумма цифр числа, состоящего из натуральных чисел от 1 до 1109 кратна 9. Остаток от деления этого числа на 9 равен 0

 Число М получено из предыдущего приписыванием еще двух натуральных чисел
1110 и 1111
Сумма цифр этих чисел равна 7
Остаток от деления числа М на 9 равен 7