Имеется два сплава. первый сплав содержит 20% никеля, второй - 50% никеля. масса второго сплава больше массы первого на 6 кг. из этих двух сплавов получится третий сплав, содержащий 40% никеля. найдите массу третьего сплава. ответ дайте в килограммах.

1) sin a = √2/2; a1 = pi/4+2pi*k; cos a1 = √2/2
a2 = 3pi/4+2pi*k; cos a2 = -√2/2
cos(60 + a1) = cos 60*cos a1 - sin 60*sin a1 =
= 1/2*√2/2 - √3/2*√2/2 = √2/4*(1 - √3) = -√2(√3 - 1)/4
cos(60 + a2) = cos 60*cos a2 - sin 60*sin a2 =
= -1/2*√2/2 - √3/2*√2/2 = -√2/4*(1 + √3) = -√2(√3 + 1)/4

2) sin a = 2/3; cos b = -3/4; a ∈ (pi/2; pi); b ∈ (pi; 3pi/2)
cos a < 0; sin^2 a = 4/9; cos^2 a = 1-4/9 = 5/9; cos a = -√5/3
sin b < 0; cos^2 b = 9/16; sin^2 b = 1-9/16 = 7/16; sin b = -√7/4
sin(a+b) = sin a*cos b + cos a*sin b =
= 2/3*(-3/4) + (-√5/3)(-√7/4) = -6/12 + √35/12 = (√35 - 6)/12
cos(-b) = cos b = -3/4

Решение:

Данное двойное неравенство равносильно системе двух квадратных неравенств:

Первое неравенство .

Заметим, что в левой части скрывается квадрат разности (формула ): .

Неравенство принимает следующий вид: .

Так как квадрат числа всегда неотрицательный, то нам не подходит всего лишь один случай: и .

Значит, первой неравенство эквивалентно тому, что .

Второе неравенство .

Вс уравнение имеет по теореме Виета (утверждающей, что и ) корни и .

Из этого следует разложение левой части на множители: .

Метод интервалов подсказывает решение .

     + + +                 - - -                    + + +    

___________________________

                     \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Значит, второе неравенство равносильно тому, что .

Имеем значительно более простую систему неравенств:

Вполне понятно, что ее решением является (как пересечения двух промежутков).

Или же .

Задача решена!

ответ: