Постройте график функции у=х^2-4х+3.

y=x'' - 4x+3

Графиком функции является порабола, ветви которой направлены вверх т.к 1 больше 0

1) Дана квадратичная функция  у = -3х² + 6х + 3. Ветви вниз (а = -3).

Находим вершину хо = -в/2а = -6*(2*(-3)) = 1.

Тогда ответ:

функция возрастает на промежутке (-∞; 1), убывает- (1; ∞).

2) Экстремумы функции у = х³ - 2х² находим по производной, равной нулю: y' = 3х² - 4x = 0.  x(3x - 4) = 0. Имеем 2 критических точки: х = 0 и х = 4/3 и 3 промежутка монотонности: (-∞; 0), (0; (4/3) и ((4/3); +∞).

Находим знак производной на каждом из промежутков.

х =  -1      0      1       4/3       2

y' = 7 0 -1  0     4 .

Видим, что при прохождении через точку х = (4/3) производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через точку х = 0 – меняет знак с плюса на минус, соответственно это будет максимум.

4) Дана функция у = х³ - 6х², её производная равна y' = 3x² - 12x.

В точке х = 1 производная равна y'(1) = 3 - 12 = -9.

Функция в точке х = 1 равна х(1) = 1 - 6 = -5.

Уравнение касательной задается уравнением:

y = f ’(x0) • (x − x0) + f (x0) ,

где f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.  Подставим значения:

у = -9(х - 1) + (-5) = -9х + 9 - 5 = -9х + 4.

5) Дана функция у = х - х³. Её производная равна:

y' = -3x² + 1. Приравняем производную нулю: -3x² + 1 = 0.

х = +-√(1/3) ≈ +-0,57735.

Находим знак производной на каждом из промежутков.

x =    -1     -√(1/3)        0        √(1/3)           1

y' = -2      0           1            0          -11

Максимум в точке х = √(1/3) равен 2/(3√3),

минимум в точке х = -√(1/3) равен -2/(3√3).

Для этого нужно вспомнить графики этих функций, и как каждая из них себя ведет на определенных промежутках (возрастает или убывает).
Синус: функция нечетная, возрастает на промежутке [0; pi/2], убывает на [pi/2; 3pi/2].
4 > pi, значит этот угол лежит в промежутке [pi; 3pi/2], где синус убывает. А значит, что sin4 < 0.
Косинус: функция четная, убывает на [0; pi], возрастает на [pi; 2pi].
3pi/2 < 1.8*pi < 2pi - значит, угол лежит в той области, где косинус возрастает, значит cos(1.8pi) > 0.
Котангенс: всегда убывает, не определен при х = pi*k.
pi < 9pi/7 < 3pi/2, где ctg(9pi/7) > 0