Укажите наибольшее и наименьшее целое число, принадлежащее промежутку 1) [-10; -5] 2) (6; 12)

Если скобки квадратные, то крайние числа входят в промежуток.

А) Наибольшее -5, Наименьшее -10.

Если скобки круглые, то крайние числа не входят в промежуток.

Б) Наибольшее 11, Наименьшее 7.

Выразим y обоих случаях:

 

y = 1/2*x² - 1/2

 

у=x+1

 

Найдем точки соприкосновения графиков:

 

х+1 = 1/2*x² - 1/2

2х+2 = х² -1

х²-1-2х-2=0

х²-2х-3=0

D = 4+12=16 - 2 корня

х1 = (2+4)/2 = 3

х2= (2-4)/2 = -1

 

Таким образом, графики фунции пересеаются в двух точках х=-1 и х=3, причем график функции у=x+1 будет расположен выше графика функции y = 1/2*x² - 1/2 на этом отрезке.

 

Теперь можем найти площадь фигуры:

 

S = ∫₋₁³ (x+1-(1/2*x² - 1/2))dx = ∫₋₁³ (x+1-1/2*x² + 1/2 )dx = ∫₋₁³ (x-1/2*x² +3/2)dx = (1/2*x²  - 1/6*x³+ 3/2*x) |₋₁³ = (9/2 - 27/6 +9/2) - (1/2 + 1/6 - 3/2) = 9/2 +5/6 = 27/6 + 5/6 = 32/6 = 16/3 = 5ц1/3

Для того чтобы решить неравенство нужно для начала решить уравнение:

5^2x-6*5^x+5=0

 Уравнение напоминает квадратное, а чтобы проще в записи решения данного уравнения, произведем замену, пусть 5^х = с, тогда уравнение приобретает вид:

С^2-6с+5 =0

Дискриминант D равен:

D=6^2-4*1*5=36-20=16, 16>0, что говорит о том, что уравнение С^2-6с+5 =0

 Имеет два решения:

1.с=(6+√16)/2*1=10/2=5

2.с=(6-√16)/2*1=2/2=1

Вспоминаем, что с=5^x, запишем неравенство следующим образом:

(5^x-5)(5^x-1)>0

Значит

Если 5^x-5>0 то 5^x-1>0

Если 5^x>5 то 5^x>1

Значит х>1

Или

Если 5^x-5<0 то 5^x-1<0

Если 5^x<5 то 5^x<1

Значит x<0

ответ: х>1 или x<0