Самостоятельная работа по теме: «действительные числа»вариант 11. укажите какое -либо число, заключенное между данными числами аива) а=3, 7 и в=3, 8б) а= -4, (3) и в= -4, (23)2. сравните числаа)3, 4(2) и 3, 42б) -5, 73 и -5, (73)3. вычислитеа)4 +6, 2б)2, 8 (-45) в) 1 (-2, 5)самостоятельная работа по теме: «действительные числа»вариант 21. укажите какое-либо число, заключенное между данными числами аива) а=6, 4 и в=6, 5б) ae -2, (3) иве -2, (21)2. сравните числаа)5, 6(2) и 5, (62)б) -3, 12(3) и -3, 1 (23)3. вычислитеа)5 - 45, 4б) -2, 2 (635)»); (4, 5)​

Докажем, что все члены последовательности лежат в пределах [3/2;2].
x_1 там лежит; пусть для некоторого n выполнено 3/2≤x_n≤2;
тогда 1/2≤1/x_n≤2/3⇒3/2≤1+(1/x_n)≤5/3<2⇒3/2≤x_(n+1)≤2; тем самым методом математической индукции утверждение доказано для всех членов последовательности.

Далее, оценим разность между соседними членами последовательности: 

|x_(n+1) - x_n|=|1+(1/x_n) - 1 - (1/x_(n-1))|=|x_(n-1) - x_n|/(x_n·x_(n-1))≤

|x_(n-1) - x_n|/(3/2)^2

Отсюда следует сходимость последовательности.

Предел A последовательности теперь ищется элементарно. Для этого нужно перейти к пределу в равенстве x_(n+1)=1+(1/x_n):

A=1+(1/A); A^2-A-1=0; A=(1+√5)/2 (отрицательный корень отбросили, поскольку A>0

[2A]=[1+√5]=3

ответ:  3

Рациональным числом называется такое число,которое не представляется в виде бесконечной периодической дроби.
А вот иррациональное - бесконечная периодическая дробь.
Иначе говоря,корень должен быть "тяжело извлекаем" в случае иррационального числа.
Вот,например случай 2)-рациональное,очевидно,это 13.
Рассмотрим случай 4).Переведём подкоренное в неправильную дробь - 25\4,корень извлекается,будет 5\2,следовательно,число рациональное.
В  случае 3) степень чётная,поэтому при перемножении можно убедиться,что число будет рациональным(целым здесь)
Из 1,6 корень не извлечём.
Хочется 4 приплести,да не выйдет.
Не так давно объясняла другому человеку случай 4).
Послушайте,если вам на экзамене попадутся десятичные дроби под корнями и потребуется выбрать рациональное число,берите ТО,У КОТОРОГО ПОСЛЕ ЗАПЯТОЙ ЧЁТНОЕ КОЛИЧЕСТВО ЗНАКОВ.
Здесь 1 запятая после запятой.Случай 1  вылетает.