Значения каких выражений являются четными 1) 11+12+13++101 2) 21+23+25++703 3) 205+202+199++1 4) 1001+997+993++501 5) 25+29+33++701

1) сумма арифметической прогрессии d=1; n=101-10=91

n-ый член прогрессии:

101=11+1·(n-1)

n-1=101-11

n-1=90

n=91

S=(11+101)·91/2 =(112/2)·91  -  четная

2) cумма арифметической прогрессии d=2;

703=21+2·(n-1)

n=342

S=(21+703)*342/2 - четная

3) d=-3

1=205-3(n-1)

n=69

S=(205+1)·69/2- нечетная

4) d= -4

501=1001 -4(n-1)

n=126

S=(1001+501)126/2 - четная

5) d=4

701=25+4(n-1)

n=170

S=(25+701)170/2 - четная

Пусть A1,A2,...,An,n- точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Выясним, сколько прямых проходит через точку A1 и оставшиеся точки. Так как число оставшихся точек равно n – 1 и через каждую из них и точку A1 проходит одна прямая, то число прямых будет равно n – 1. Всего точек n и через каждую из них проходит n – 1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n(n – 1). Каждую прямую посчитали дважды и поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, равно n(n-1)/2. . Третью точку можно выбрать Тогда число прямых, проходящих через эти три точки,
равно (n(n - 1)(n - 2))/6 .
Или иначе это число сочетаний из n по 3,которое равно
 n!/(n-3)!*3!=n(n-1)(n-2)*(n-3)!/(1*2*3*(n-3)!)=(n(n-1)(n-2)/6

Из формулы сложения аргументов: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Подставим числа: cos(7x-pi/4) = cos(7x)*cos(-pi/4) - sin(7x)*sin(-pi/4). Так, как функция cos(x) парная, а sin(x) - непарная, cos(-x) = cos(x), sin(-x) = -sin(x). Имеем: cos(7x-pi/4) = cos(7x)*cos(pi/4) + sin(7x)*sin(pi/4); sin(pi/4) = cos(pi/4) = 45 градусов, или sqrt(2)/2 (корень из двух, деленный на два). cos(7x-pi/4) = sqrt(2)/2*cos(7x) + sqrt(2)/2*sin(7x), cos(7x-pi/4) = sqrt(2)*(cos(7x) + sin(7x))/2, (2cos(7x-pi/4))/sqrt(2) = cos(7x) + sin(7x), (2cos(7x-pi/4))/sqrt(2) = sqrt(2)*cos(7x-pi/4), sqrt(2)*cos(7x-pi/4) = cos(7x) + sin(7x).
Из формулы вс угла: a*sin(x) + b*cos(x) = sqrt(a^2+b^2)*sin(x+y), sin(y) = b/sqrt(a^2+b^2). cos(7x-pi/4) + sin (7x-pi/4) = sqrt(1^1+1^1)*sin(7x-pi/4+1/sqrt(1^1+1^1)), cos(7x-pi/4) + sin (7x-pi/4) = sqrt(2)*sin(7x-pi/4+1/sqrt(2)).