Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
Найдите значение параметра w, при котором сумма квадратов различных корней уравнения x²+2wx+3=0 меньше 30
Сначала обратимся к дискриминанту уравнения x²+2wx+3=0, который определяется по формуле D = b² - 4ac:
D = (2w)² - 4(1)(3) = 4w² - 12
Так как нам дано, что сумма квадратов различных корней меньше 30, то можно записать это в виде неравенства:
x₁² + x₂² < 30
Так как у нас есть уравнение x²+2wx+3=0, то мы можем выразить квадраты корней через дискриминант:
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
Зная, что сумма корней равна -2w (по свойствам уравнения), мы можем подставить это значение в выражение для суммы квадратов корней:
(-2w)² - 2x₁x₂ < 30
Упрощаем это выражение:
4w² - 2x₁x₂ < 30
Так как у нас есть уравнение x²+2wx+3=0, мы можем использовать формулу Виета для выражения x₁x₂ через a, b и c:
x₁x₂ = c/a = 3/1 = 3
Заменяем это значение в неравенство:
4w² - 2(3) < 30
Упрощаем выражение:
4w² - 6 < 30
Далее, выразим w²:
4w² < 36
w² < 9
Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей неравенства:
|w| < 3
Таким образом, значение параметра w должно быть в пределах от -3 до 3, чтобы сумма квадратов различных корней уравнения x²+2wx+3=0 была меньше 30.