Докажите, что действительные числа, представимые периодическими десятичными дробями, являются рациональными.

Если на словах. Периодическая дробь является суммой из начальной части, которая является рациональным числом и из последовательности чисел, каждое из которых соответствует повторяющейся группе цифр. Эта последовательность является бесконечной геометрической прогрессией, начальный член которой рациональное число, а знаменатель тоже рациональный (степень десятки). Таким образом, сумма этой прогрессии (по известной формуле) тоже рациональна. Остается сложить эти два рациональных числа и получить рациональной значение у всей периодической дроби.

A cos²x + B sin x cos x + C sin²x = d
A cos²x + B sin x cos x + C sin²x = sin²x + cos²x
Переносишь из правой части в левую
E cos²x + B sin x cos x + F sin²x = 0 | :cos²x ( или sin²x)
Удобнее будет, если в итоге получиться tg x, значит делим на sin²x
E tg²x + B tg x + F = 0
tg x = t
Et² + Bt + F = 0
А дальше дискриминант, или как там удобнее (Я т.Виета пользуюсь)
Получаем корни t, допустим t = H ; O
Приравниваем наш tg x к корням
tg x = H или tg x = O
Это решить уже не составит труда
x = arctg(H) + n, n ∈ Z
x = arctg(O) + n, n ∈ Z
Само собой, если tg = 1, то это /4+n, n ∈ Z, и т.п
Это я общее привёл

Объяснение:

Пусть во второй емкости "х" л воды. В первой емкости на 3 л воды больше, значит в первой емкости "х+3" л воды. Если из первой емкости перелить во вторую 15 л воды, то в первой емкости станет "х+3-15" л воды, а во второй станет "х+15" л воды. Зная, что после этого, во второй емкости будет воды в 2 раза больше, составляем уравнение. 2 * (х + 3 - 15) = х + 15 ; 2 * (х - 6 ) = х + 15 ; 2х - 12 = х + 15 ; 2х - х = 15 + 12 ; х = 27 (л) во второй емкости. 1) х + 3 = 27 + 3 = 30 (л) в первой емкости.