18 . 9 класс. тема: свойства функции. преобразование графиков функций. квадратичная функция номер 3. постройте график функции:

Все расписано на фото

---------

task/29729177  Решить уравнение  ctg(2x) - ctg(x)  = 2ctg(4x)                                  

ОДЗ : { sin2x ≠ 0 ; sinx ≠ 0 ; sin4x ≠0 .      x ≠ πk/4 , k ∈ ℤ .

ctg(2x) - ctg(x) = 2ctg(4x) ⇔ ctg(2x) - 2ctg(4x)  =  ctg(x) ⇔

ctg(2x) -(ctg²(2x)-1) /ctg2x =ctg(x) ⇔1/ctg(2x)=ctg(x)⇔2ctgx / (ctg²x -1) =ctgx⇔

|| ctgx ≠ 0 ||    2 / (ctg²x -1) = 1 ⇔ 2 =  ctg²x - 1 ⇔ ctg²x  = 3 ⇔ ||  ctgx  = ±√3  ||

(1+cos2x) / (1-cos2x) = 3  ⇔   1+cos2x  =3 - 3cos2x ⇔ cos2x = 1/2 ⇔

2x = ± π/3 + 2πk ,  k ∈ ℤ . 

ответ:  x =± π/6 + πk ,  k ∈ ℤ

1 уравнение имеет

D/4 = (b/2)^2 - ac = 1009^2 - 1*a = 1009^2 - a

Оно будет иметь целые корни, если D/4 будет точным квадратом.

2 уравнение имеет

D/4 = (b/2)^2 - ac = (a/2)^2 - 2018 = a^2/4 - 2018

Оно будет иметь целые корни, если D/4 будет точным квадратом.

{ 1009^2 - a = n^2

{ a^2/4 - 2018 = m^2

Выделим а

{ a = 1009^2 - n^2 = (1009 - n)(1009 + n)

{ a^2/4 - m^2 = (a/2 - m)(a/2 + m) = 2018

Из 2 уравнения разложим 2018 на множители

2018 = 1*2018 = 2*1009 (1009 - простое число).

1)

{ a/2 - m = 1

{ a/2 + m = 2018

Складываем уравнения

a = 2018 + 1 = 2019

Проверяем 1 уравнение

x^2 + 2018x + 2019 = 0

D/4 = 1009^2 - 2019 = 1018081 - 2019 = 1016062 - не квадрат, не подходит.

2)

{ a/2 - m = 2

{ a/2 + m = 1009

Складываем уравнения

a = 1009 + 2 = 1011

Проверяем 1 уравнение

x^2 + 2018x + 1011 = 0

D/4 = 1009^2 - 1011 = 1018081 - 1011 = 1017070 - это тоже не квадрат.

Получается, что ни при каком а оба эти уравнения не будут иметь одновременно целые корни.