[80 найдите точки локального максимума и минимума функции: f(x)= x^4 -x^3 +4 желательно с объяснением) заранее ❤

Дана функция:

Найдём её производную ( f'(x) = g(x) ):

Для поиска и отсеивание экстремумов приравняем производную к нулю:

Мы нашли 2 точки возможного экстремума. Проверим, действительно ли они являются точками экстремума. Для этого возьмём по точке в окрестностях этих, и подставим в g(x), чтобы определить знак производной.

1) Подставим в g(x) точку -1, которая < 0:

Так как g(-1) < 0, то функция в окрестности точки -1 спадает;

2) Подставим в g(x) точку 0.5, которая лежит между 0 и 3/4:

Так как g(0.5) < 0, то функция в окрестности 0.5 спадает;

3) Подставим в g(x) точку 1, которая > 3/4:

Так как g(1) >0, то функция в окрестности точки 1 возрастает.

Имеем:

На промежутке хє(-∞;0) функция спадает; хє(0;3/4) – функция спадает; хє(3/4;+∞) – функция возрастает. Значит у данной функции существует единственная точка экстремума – 3/4.

Но так как в окрестности точки 3/4 функция производная функции меняет свой знак с "-" на "+", то эта точка является локальным минимумом функции. Тогда локальный максимум функции – 0.

Это и есть ответ.

В №1 при подстановке значения у из первого уравнения во второе получим х(а-3)=2. Следовательно (а-3) не=0. а не=3. При а=3 нет решений.
Единственное решение при любых а, кроме а не=3.
№2. Преобразуем каждое уравнение, т.е. избавимся от знаменателей. В первом уравнении правую часть умножим на 10, а во втором левую часть умножим на 3, а в правой первое и второе слагаемые соответственно умножим на 4 и 3
Тогда получим после перенесения всех неизвестных в левую часть, а чисел в правую
{ 2x+90y=276
  4x+9e=39       Поделим обе части первого уравнения на 2, а обе части второго умножим на 5. Получим
{ x+45y=138
 20x+45y=195  Вычтем из второго уравнения первое и получаем
19х=57
х=19 далее находим у.

Приведи выражение в нормальный вид функции, т.е. у перенеси в левую часть, а х в правую. Получишь у=х-5 и у= -(х+1)/2.
далее строй графики. У тебя графики прямых, поэтому достаточно найти две точки для каждого.
Для первого можно взять точки при х=0 и при х= 5), тогда имеешь А(0, -5), В (5,0). Прямая пересекает оси координат в точках: ось Y в точке -5, а ось X в точке 5. Прямая располагается в третьей и первой четвертях, частично проходя через вторую четверть.
Аналогично строишь график прямой для второй функции. Также достаточно двух точек, например для х=0 и х=-1. Тогда имеешь точки С(0, -1/2) и Д (-1, 0).
 Прямая пересекает оси координат в точках: ось Y в точке -1/2, а ось X в точке -1.  Прямая располагается во  второй и четвертой четвертях, частично проходя через третью четверть.

Далее находишь графическое решение, т.е. координаты точки пересечения этих прямых.