Доказать тождество: ((a^2/a+5) - (a^3/a^2+10a+25)): ((а/a+5) - (a^2/a^2-25))=5a-a^2/a+5

Sin3x = 3sinx - 4sin³x => 3sinx - 4sin³x = cos(x)

Поделим на cos(x), не равный 0, т. к. при cos(x) = 0 уравнение решений не имеет (3-4<>0):

3tg(x) - 4sin^2(x)*tg(x) = 1

sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому sin^2(x) = 1 - cos^2(x).
- 4sin^2(x) = 4cos^2(x)-4.

3tg(x)  + (4cos^2(x)-4)*tg(x) = 1
3tg(x)  + 4cos^2(x)*tg(x)-4*tg(x) = 1
Ввведем обозначение: m = tg(x).
3m  + 4cos^2(x)*m-4m = 1
4cos^2(x)*m - m = 1
4m/(1+m*m) - m - 1 = 0
(4m - (m+1)(1+m*m))/(1+m*m) = 0
4m - (m+1)(1+m*m) = 0
4m - (m + mmm + 1 + mm) = 0
(m + mmm + 1 + mm) - 4m = 0

mmm + mm - 3m + 1= 0
По теореме Безу, при m = 1 этот многочлен делится на m - 1 без остачи.

Теперь этот многочлен можно разложить на множители:
(mm+2m-1)(m-1) = 0.

Решая это уравнение методом интервалов, найдем, что:
m = 1,
m = +- sqrt(2).

Вернемся к x:
tg(x) = 1 => x = p/4 + pn,
tg(x) = -1 +- sqrt(2) => x = arctg(-1 +- sqrt(2)) + pn.

ответ: x E {p/4 + pn; arctg(-1 + sqrt(2)) + pn; arctg(-1 - sqrt(2)) + pn}.

1) Найдем точки пересечения графиков:

(1/3)*x^2+2x+4 = 10+x
(1/3)*x^2 + x - 6 = 0 | * 3
xx + 3x - 18 = 0
D = 9 + 4*18 = 81
x1, 2 = (-3+-9)/2
x1 = -6
x2 = 3

Далее нужно найти определенный интеграл A от 10+x при х от -6 до 3, определенный интеграл B от 1/3x^2+2x+4 при х от -6 до 3, их разность и будет искомой площадью фигуры:

Интеграл (1/3)*x^2+2x+4 = x*x*x/9 + x*x + 4x + C
(3 + 9 + 12) - (-24 + 36 - 24) = 24 + 12 = 36

Интеграл 10+x = x*x/2 + 10x + C
36/2 - 60 = -42
3*3/2+30 + 42 = 76,5

76,5 - 36 = 40,5
ответ: 40.5 кв. ед.

2) В условии небольшая ошибка, -2 - 4 - x^2 следует понимать как -2 - 4x - x^2, иначе решений нет, т. к. площадь пересечения равна нулю.

Найдем точки пересечения:
x^2 + 2x + 2 = -2 - 4x - x^2
2x^2 + 6х + 4 = 0
хх + 3х + 2 = 0
В = 9 - 8 = 1
x1,2 = (-3 +- 1)/2
x1 = -2
x2 = -1

График функции -2-4*x-x*x находится выше.

Неопределенный интеграл от -2-4*x-x*x равен -2x - 2x*x - x*x*x/3 + C.
При х = -1: 2 - 2 + 1/3 = 1/3.
При х = -2: 4 - 8 + 8/3 = -4 + 8/3
1/3 - (-4 + 8/3) = 4 - 7/3 = 5/3.

Неопределенный интеграл от x^2+2x+2 равен х*х*х/3 + х*х + 2х + С.
При х = -1: -1/3 + 1 - 2 = -1/3 - 1.
При х = -2: -8/3 + 4 - 4 = -8/3
-1/3 - 1 + 8/3 = 7/3 - 3/3 = 4/3

5/3 - 4/3 = 1/3
ответ: 1/3 кв. ед.