Найти координаты точки пересечения графиков функций : , ! ​

пусть к и р  - искомые цифры. Тогда имеем ИЗ ПЕРВОГО УТВЕРЖДЕНИЯ

k^2 + p^2 = 3*k*p + 1 

Отсюда следует 2 равенства.

(k - p)^2 = k*p + 1;

(k + p)^2 = 5*k*p + 1;

Поскольку к и р - ЦИФРЫ, то их сумма не превосходит 18.

Далее. Предположим, что обе цифры четные. Сразу противоречие, так как квадрат разности будет четным, а левая часть первого равенства - нечетная. Поэтому либо к и р, либо хотя бы одна из них - нечетная. 

Представим k = 2*m+1;p = 2*n+1 и подставим в исходную форму первого утверждения. 

(2*m + 1)^2 + (2*n + 1)^2 = 3*(2*m+1)*(2*n+1) +1;

4*(m^2 + n^2 + m + n) = 3*4*m*n + 3*2*(m+n) +3; (единички сократились)

Опять противоречие - слева четное, а справа нечетное.

Поэтому ЦИФРЫ к и р - РАЗНОЙ ЧЕТНОСТИ. Это означает, что 5*к*р кратно 10, а выражение 5*к*р+1 заканчивается на 1. В промежутке от 2 до 18 есть только 2 числа, квадрат которых заканчивается на 1 - это 9 (квадрат 81) и 11 (квадрат 121). Напоминаю,что (k + p)^2 = 5*k*p + 1;  то есть 5*k*p + 1 - полный квадрат.

Но число 81 не подходит, потому что 80 = 5*16, а 16 НЕ ИМЕЕТ НЕЧЕТНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ. А цифры наши должны быть разной четности. С 121 лучше -

120 = 5*24, а 24 = 8*3, и это ЕДИНСТВЕННОЕ представление в виде произведения нечетного и четного числа.

Итак,у нас осталась пара цифр 3 и 8. Из них можно составить числа 38 и 83. Первое число противоречит второму условию  

10*к + р = 7*i + 6; 

Зато 83 как раз ему удовлетворяет

83 = 7*11 +6.

ответ 83

Пусть три данных числа равны а, ак, аk^2, тогда числа a, ak+8, ak^2 - образуют арифмитическую прогрессию, и по одному из ее свойств иммеем

2(ak+8)=a+ak^2

 

числа a, ak+8, ak^2+64 - образуют геометрическую прогресию и по одному из ее свойств

(ak+8)^2=a(ak^2+64)

 

Нам нужно найти сумму a+ak+ak^2=ak+2(ak+8)=3ak+16

 

2(ak+8)=a+ak^2

(ak+8)^2=a(ak^2+64)

 

2ak+16=a+ak^2

a^2k^2+16ak+64=a^2k^2+64a

 

2ak+16=a+ak^2

16ak+64-64a=0

 

2ak+16=a+ak^2

ak+4-4a=0

 

a(k-4)=-4

a=4/(4-k)

 

2*4/(4-k) *k+16=4/(4-k)  *(1+k^2)

8k+16(4-k)=4(1+k^2)

2k+4(4-k)=1+k^2

2k+16-4k=1+k^2

k^2+2k-17=0

D=72=36*2

k1=(-2-6*корень(2))/2<0 - не подходит (данные три числа положительные, поэтом и знаменатель как отношение двух положительных чисел число положительное)

k2=(-2+6*корень(2))/2=3*корень(2)-1

 

k=3*корень(2)-1

a=4/(4-k)=4/(4-3*корень(2)+1)=4/(5-3*корень(2))=

=4*(5+3*корень(2))/(25-18)=4/7(5+3*корень(2))

 

3ak+16=3*(3*корень(2)-1)*4/7*(5+3*корень(2))+16=

=12/7*(15корень(2)+18-5-3корень(2))+112/7=

=12/7*(12корень(2))+125)

 

з.ы. по идеи вот так..."интересное число" получилось