Хорды сд и се лежат по разные стороны то центра о круга, угол есд = 84°, угол сое : угол дое = 9 : 14. найти углы сое и дое

допустим высоты.  

в треугольнике СОЕ высоту ОН1  

в треугольнике СОД высоту ОН2.  

по правилу хорды такие высоты разбивают стороны СЕ и СД на равные части, а также углы СОЕ и СОД на равные.  

 

пусть ДОЕ = Х. Тогда по условию СОЕ = 9*Х/14  

 

Найдём угол СОД = 360 - угол ДОЕ - угол СОЕ = 360 - Х - 9*Х/14  

 

из прямоугольных треугольников СОН1 и СОН2 можно записать углы ОСН1 и ОСН2 как:  

угол ОСН1 = 180 - 90 - 9*Х/14/2 = 90 - 9*Х/28  

угол ОСН2 = 180 - 90 - (360-Х-9*Х/14)/2 = Х/2 + 9*Х/28 - 90  

 

поскольку угол ДСЕ = угол ОСН1 + угол ОСН2 то  

90 - 9*Х/28 + Х/2 + 9*Х/28 - 90 = 84  

Х/2 = 84  

Х = 168  

 

тоесть угол ДОЕ = 168 градусов  

тогда угол СОЕ = 9*Х/14 = 108 градусов

Рассмотрим обжору (пусть это обжора А), который съел наибольшее количество пирожков. Тогда справа от него сидит обжора, съевший в два раза меньше, т.е. А съел четное количество пирожков. Пусть есть обжора, который съел нечетное количество пирожков. Тогда справа от него сидит обжора, съевший на 6 больше, то есть он тоже съел нечетное количество пирожков. Продолжая подобные рассуждения получим, что все съели нечетное количество пирожков, однако А съел четное. Противоречие. Итак, все съели четное количество пирожков. Значит, общее количество съеденных пирожков тоже четное. Поэтому все пирожки не могли быть съедены. Покажем, что 1 пирожок мог остаться:

Рассмотрим обжору Б. Пусть он съел 2 пирожка. Следующий справа съел 8, следующий съел 4. Тогда в этой тройке всего съедено 14 пирожков. Поставим 7 таких троек друг за другом: (2, 8, 4), (2, 8, 4),...,(2, 8, 4). Всего съедено 14*7=98 пирожков, то есть один остался. Легко видеть, что предъявленная расстановка отвечает требованиям условия.

Итак, наименьшее количество оставшихся пирожков равно 1.

ответ: один-единственный

Рассмотрим обжору (пусть это обжора А), который съел наибольшее количество пирожков. Тогда справа от него сидит обжора, съевший в два раза меньше, т.е. А съел четное количество пирожков. Пусть есть обжора, который съел нечетное количество пирожков. Тогда справа от него сидит обжора, съевший на 6 больше, то есть он тоже съел нечетное количество пирожков. Продолжая подобные рассуждения получим, что все съели нечетное количество пирожков, однако А съел четное. Противоречие. Итак, все съели четное количество пирожков. Значит, общее количество съеденных пирожков тоже четное. Поэтому все пирожки не могли быть съедены. Покажем, что 1 пирожок мог остаться:

Рассмотрим обжору Б. Пусть он съел 2 пирожка. Следующий справа съел 8, следующий съел 4. Тогда в этой тройке всего съедено 14 пирожков. Поставим 7 таких троек друг за другом: (2, 8, 4), (2, 8, 4),...,(2, 8, 4). Всего съедено 14*7=98 пирожков, то есть один остался. Легко видеть, что предъявленная расстановка отвечает требованиям условия.

Итак, наименьшее количество оставшихся пирожков равно 1.

ответ: один-единственный