Вычислите площадь области, ограниченной линиями, заданной уравнениями в полярной системе координат: p=2cos3φ, p=1 (p>=1)

График уравнения ρ=2cos3φ - трехлепестковая роза

График уравнения ρ=1-  окружность радиуса 1

Находим точки пересечения кривых:

2cos3φ=1

cos3φ=1/2

3φ=±(π/3)+2πk, k∈Z

φ=±(π/9)+(2π/3)k, k∈Z

Так как по условию ρ≥1- это внешняя  часть круга.

Область состоит из трех одинаковых областей.

Находим площадь одной на участке от (-π/9)  до (π/9)

и умножаем на три:

S=3·∫^(π/9)_(-π/9) (1/2)(cos²3φ-1²)dφ=(3/2)∫^(π/9)_(-π/9)((1+cos6φ)/2 - 1)dφ=

=(3/4))∫^(π/9)_(-π/9)((cos6φ - 1)dφ=

=(3/4)*((sin6φ/6)-φ)|^(π/9)_(-π/9)=

=(3/24)·(sin(6π/9)-sin(-6π/9))-(3/4)·((π/9)-(-π/9))=

=(3/24)·(sin(2π/3)-sin(-2π/3))-(3/4)·(2π/9)=

=(3/24)·((√3)/2+(√3)/2)-(6π/36)=

=(√3)/8-(π)/6

О т в е т. (√3)/8-(π)/6

 

Первую ещё не придумала, а вот вторая:

Чтобы найти вероятность того, что точка,брошенная в круг, попадёт в треугольник, надо найти отношение площади правильного треугольника к площади окружности

S(треуг)=(а:2*корень(3))/ S 4

S(окруж)=Pі *r^2

Мы знаем связь между стороной правильного треугольника и радиусом описаной окружности: 

r=a/корень3

Тогда, вероятность = S(треуг)/  S(окруж)=  ((а:2*корень(3))/ S 4) / (Pі *r^2) =  ((а:2*корень(3))/ S 4) *  (Pі *а^2) /3=(3*корень3)/ 4Pі  

Если надо, можно примерно вищитать:

(3*корень3)/ 4Pі  = 3*1,73/4*3,14=5,19/12,56=0,41

ответ:0,41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здравствуйте. Для решения данного задания следует заметить, что формула практически напоминает полный квадрат выражения. Однако это бы случилось если бы последнее число 25 было бы со знаком +. Поэтому представим -25 как 25-50. Получим 9x^2 + 30x + 25 - 50. Cвернем три первых в полный квадрат (3x + 5)^2 - 50. Полный квадрат всегда является неотрицательным числом, а его минимальное значение 0 при x = -5/3. Соотвественно так как этот x наименьшая переменная то для нее посчитаем и наименьшее выражение. Оно будет равно -50.