Найди, сколько 8-значных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0, 1, 2...9 при условии, что цифры в записи числа не повторяются?

342720

Объяснение:

Числа кратные 5 заканчиваются на 5 или на 0, все зависит от порядка цифр.

Для начала возьмем 5. на место первой цифры 8-значного числа мы можем поставить 8 цифр (так как цифра 5-последняя и на первом месте не может быть цифра 0), на место втоорой цифры мы можем поставить так же 8 цифр, (5 последняя и одна из 8-ми цифр, которая теперь стоит на первом месте), на место 3 цифры мы можем поставить 7 цифр (5 последняя и те, которые стоят на место первой и второй цифры). Итого  вариаций: 8*8*7*6*5*4*3=8!*8/2=161280.

Теперь возьмем такие 8-значные числа, в которых цифра 0 последняя.

на месте первой цифры может быть 9 цифр из 10 перечисленных (т.к. 0 последняя), на месте второй цифры может быть 8 цифр (0 - последняя  цифра и какая-то из 9-стоит на первом месте), и так далее. Итого: 9*8*7*6*5*4*3= 9!/2= 181440 вариаций.

Теперь подсчитаем общее число: 161280+181440 = 342720 чисел.

1 - в любом случае натуральный делитель.
если 2 не делитель, то и 4 не будет делителем. в таком случае минимальная сумма первых пяти делителей будет 1+3+5+7+9=25,
что больше 17. значит, 2 - делитель
аналогично рассуждаем для 3. если 3 не делитель, то и 6 не делитель, значит,
минимальная сумма первых пяти делителей 1+2+4+5+7=19
значит, 3 делитель
среди делителей есть 2 и 3, значит, если есть делитель больше 5, то им будет 6
проверим ряд наименьших делителей 1, 2, 3, 5, 6
их сумма равна 1+2+3+5+6=17
значит, подобрали наименьшие делители

теперь надо найти наибольшие делители
самым большим будет само это число - Х
очевидно, что если среди делителей этого числа есть 2, то вторым делителем будет Х/2
соответственно, третьим и четвертым будут Х/3 и Х/5
составим уравнение
Х + Х/2 + Х/3 + Х/5 = 427
домножим обе части на 30
30*Х + 15*Х + 10*Х + 6*Х = 427*30
61*Х = 427*30
Х = (427 * 30) / 61
[о, чудо! 427 делится на 61]
Х = 210

Пусть собственная скорость лодки равна  х км/ч,   а   скорость течения реки у км/ч.

  Тогда   у/х  = 2/5.

 

За 4 часа лодка поднялась вверх по реке на 18 км  => (х-у)*4 = 18

 

Система:

  у/х  = 2/5                                              у = 2х/5

 (х-у)*4 = 18                  =>                    (х - 2х/5)*4 = 18    

          

          4х -  8х/5 = 18        |*5

         20х -  8х  = 90

         12х  = 90

         х  = 90/12

         х  =  7,5

у = 2х/5 = 2*7,5/5  = 3

ответ:   собственная скорость лодки равна 7,5 км/ч

              скорость течения реки      -            3 км/ч.