Из пункта а в пункт в, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. одновременно навстречу ему из пункта в вышел катер. встретив плот, катер сразу развернулся и пошел назад. какую часть пути от а до впроплывет плот к моменту возвращения катера в пункт в, если скорость катера в стоячей воде втрое больше скорости течения реки?

х-скорость течения реки и скорость плота.

3х-х=2х-скорость катера против течения.

3х+х=4х-скорость катера по течению.

х+2х=3х-скорость сближения катера и плота.

t1=1/(х+2х)=1/3х-время движения до встречи.

s1п=х*t1=х*(1/3х)=1/3-за это время плот пройдёт расстояние.

s1к=1-1/3=2/3-за это время пройдёт расстояние катер.

t2=(2/3)/(4х)=1/6х-время движения катера на обратном пути до пункта в.

s2п=х*t2=х*(1/6х)=1/6-за это время плот пройдёт расстояние.

s=s1п+ s2п=1/3+1/6=1/2часть пути(половина пути)-проплывёт катер.

1) если вторая машина выехала из того же города и едет в ту же сторону, что и первая, то через t времени расстояние между ними будет:                     s₁ = v₁t' + (v₁-v₂)*t = 80+10t       v₁t' - расстояние, которое первая машина прошла до старта второй.  2) если вторая машина выехала из того же города, но едет в противоположную сторону, то через t времени расстояние между машинами будет:                     s₂ = v₁t' + (v₁+v₂)*t = 80+150t 3) если вторая машина выехала из другого города и едет навстречу первой, то через t времени расстояние между машинами будет:                     s₃ = s₀-v₁t' - (v₁+v₂)*t = s₀ - 80 - 150t 4) если вторая машина выехала из другого города и едет в сторону, противоположную первой машине, то через t времени расстояние между машинами будет:                     s₄ = s₀+v₁t' + (v₁+v₂)*t= s₀ + 80 + 150t

Доказательство: пусть  натуральное число, тогда  будет натуральным и нечётным числом. возведем данное число в квадрат: вычтем 1 и получим: докажем с индукции, что данное число делиться на 8: при  , 0 делиться на 8, следовательно условие выполняется. предположим что данное число делиться на 8 при некотором  . докажем что данное число делиться на 8 при  : по предположению  делиться на 8. следовательно, существует натуральный  так что: отсюда: следовательно, при  данное число тоже делиться на 8. ч.т.д.