1. Сколько существует четырёхзначных чисел, первая цифра которых чётная, а последняя нечётная? 2. В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и 3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля, если известно, что? а) все певцы и певицы прекрасно ладят между собой; б) 6 певцов накануне сорвали голос, и одной певице придётся петь мужскую роль?

1) Возьмём четырёхзначное число и поставим ограничения на первую и последнюю цифру. Для первого места подходят все чётные цифры, кроме нуля (4 варианта), для последнего все 5 нечётных, а посередине подходят все. По правилу произведения получается 4 · 10 · 10 · 5 = 2000.

2)

Решение:
Пусть по плану фермер должен был вспахивать по х га в день,  время его работы должно было быть равным у дней, тогда по по условию х·у = 120 (га).
В  действительности фермер вспахивал на 5 га в день больше, т.е. (х + 5) га, а дней затратил на выполнение всего задания (у - 2). Запишем, что
 (х + 5)·(у - 2) = 120.
Составим и решим систему уравнений:







При решении первого уравнения системы получим два корня, положительным является только один: у = 8. То есть 8 дней - время работы фермера по плану.
8 - 2 = 6 (дней) - затратил на работу фермер в действительности.
ответ: 6 дней.
Проверим полученный результат:
При норме !20: 8 = 15 (га в день) поле фермер собирался вспахать за 8 дней (15·8 = 120 га)
На самом деле он вспахивал 15 + 5 = 20 (га в день), потому выполнил работу за 8 - 2 = 6 (дней). (20·6 = 120 га). Верно.

Задачу можно решить и другим составляя дробно-рациональное уравнение.

А1)  
Найдем производную
F'(x)=(4+cosx)'=-sinx
F'(x)≠f(x)
Значит, функция F(x) не является первообразной для f(x)
ответ: нет

 А2)
F(x)=x²/2-7x+C - общий вид первообразной. Чтобы получить одну из них, достаточно взять вместо С любое число. Пусть С=1.
ответ: F(x)=x²/2-7x+1

A3)
F(x)=1/5 * x⁴/4 - 2/3 x³/3 - 12 x²/2 - 2x=x⁴/20-2x³/9-6x²-2x

А4) 
f(x)=F'(x)=(11/21 ctgx-12 cosx+5)'=11/21 (-1/sin²x) + 12sinx=12sinx-11/(21sin²x)

В1)  
F(x)=3x+x³/3+C
Подставляем координаты точки М и находим С
6=3*1+1³/3+С

ответ:


В2) 
F(x)=x³/3+3x²/2+C
Поскольку F'(x)=х²+3х, то для нахождения точек экстремума приравняем ее 0
х²+3х=0
x(x+3)=0
Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Поэтому
x₁=0
x₂+3=0
x₂=-3
Определяем знаки интервалов
        +                -                    +
---------------₀---------------₀---------------->
                  -3                  0
В точке -3 производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума
В точке 0 производная пеняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума
На промежутке (-∞;-3] и [0;∞)  функция возрастает
На промежутке [-3;0] функция убывает

С1) 
Найдем производную
 F'(x)=(х⁵+3х²-cosх+17)'=5x⁴+sinx
 F'(x)=f(x) для всех х∈(-∞;+∞)
Следовательно, F(x) есть первообразная для f(x). Что и требовалось доказать