Является ли уравнение с двумя переменными линейным:а) 2х-y=12б) x^2-9y=6в) 19x+7y=0г) xy+7x=4​

1) Орг. момент.

2) Актуализация опорных знаний.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.

Пример: 5x+2y=10

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.

Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1

x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4

Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).

Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

3) Историческая справка

Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.

В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.

Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.

4) Изучение нового материала.

Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y  Z k0

Утверждение 1.

Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.

Пример: 34x – 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.

Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно Утверждение 2.

Если m и n уравнения (1) взаимно числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.

Утверждение 3.

Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:

где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z

Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)

m, n, x, y  Z

Утверждение 4.

Если m и n – взаимно числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид  

5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:

9x – 18y = 5

x + y= xy

Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.

Урок 2.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания

1) 9x – 18y = 5

НОД (9;18)=9

5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.

2) x + y= xy

Методом подбора можно найти решение

ответ: (0;0), (2;2)

И квадрат, и модуль числа не могут быть отрицательными.
x²=-1
левая часть уравнения - квадрат числа х, правая часть - число  " -1", т.е. число меньшее нуля. Т.к. квадрат числа не может быть отрицательным, делаем вывод: уравнение не имеет корней.

|x|=-5
левая часть уравнения - модуль числа х, правая часть - число  " -5", т.е. число меньшее нуля. Т.к. модуль числа не может быть отрицательным, делаем вывод: уравнение не имеет корней.

x⁶+1=0
x⁶=-1
левая часть уравнения - шестая (чётная) степень числа х, правая часть - число  " -1", т.е. число меньшее нуля. Т.к. чётная степень числа не может быть отрицательной, делаем вывод: уравнение не имеет корней.

|x|+10=0
|x|=-10
левая часть уравнения - модуль числа х, правая часть - число  " -10", т.е. число меньшее нуля. Т.к. модуль числа не может быть отрицательным, делаем вывод: уравнение не имеет корней.

1.Весь обьем работы принимаем за 1.
2. Х - это время за которое всю работу сам выполнит 1 слесарь
3. Y - это время за которое всю работу сам выполнит 2 слесарь

Так как второй на 1 час=60 минут дольше, то первое уравнение системы

y - x = 60

Составляем второе уравнение:

1. Так как вся работа - это 1, то 1 слесарь за 1 минуту выполняет 1/x часть работы а второй за 1 минуту - 1/y часть работы

2. Работают вместе

1 слесарь 45 минут - значит всего выполнил работы - 1/x × 45

2 слесарь 45 минут и еще 2 часа 15 минут Итого работает 3 часа= 180 минут

Значит выполнил 1/y × 180 часть работы

вся работа - 1

уравнение получается:

1/x×45 + 1/y × 180 = 1
Решаем систему

Вышлю фото при необходимо сти.

При решении системы получается квадратное уравнение
x^2 - 165x - 2700=0
x = 180

Тогда y = 180+60= 240

ответ: 1 слесарь = за 3 часа, 2 слесарь - за 4 часа