Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии. Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x. ...;11;х;19;23;...

Обозначим: 

Первому рабочему на выполнение задания нужно Х часов, тогда второму рабочему нужно Х+12 часов.

За один час первый рабочий сделает 1/Х задания,
второй рабочий за один час сделает 1/(Х+12)

Вместе за один час они сделают 1/Х + 1/(Х+12).

Все задание рабочие сделают за 1: (1/Х + 1/(Х+12)) часов. Таким образом, получаем уравнение:

1: (1/Х + 1/(Х+12)) = Х-4

После преобразований получаем квадратное уравнение:

Х2 -8Х -48 = 0

По формуле корней получим :

Х1 = (8+16)/2 = 12

Х2 = (8-16)/2 = - 4

Второй корень не подходит, т.к. отрицательный.

Таким образом, ответ: Первый работник сделает задание за 12 часов.

Исследовать функцию f (x) = 11x/(16+x²) и построить ее график.

1. Область определения функции - вся числовая ось, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Функция f (x) = 11x/(16+x²) непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

 f(–x) = 11*(–x)/(16+(–x)²) = –11x(16+x²) ≠ f(x) 

 f(–x) = 11*(–x)/(16+(–x)²) = –(11x(16+x²)) = –f(x)

Функция является четной. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0, 11x/(16+x²) = 0 ⇒ x=0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Ox.

 Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

Находим производную заданной функции.
f′(x)=(11⋅x/(16+x²))′=((11⋅x)′⋅(16+x²)−11⋅x⋅(16+x²)′)/(16+x²)²=(11⋅(16+x²)−11⋅x⋅(x²)′)(16+x²)²=((11⋅(16+x²)−22⋅x⋅x)/(16+x²)².
ответ:f′(x)=(11⋅(16+x²)−22⋅x²)(16+x²)² = (11(16-x²))/(16+x²)².
Приравниваем её нулю (достаточно числитель):
11(16-х²) = 0, 16 = х², х = +-4.

 x = 4, x = -4  критические точки.

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке:
x_{2} = -4
Максимум функции в точке: x_{2} = 4.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. 
Возрастает на промежутках [-4, 4]
Убывает на промежутках (-oo, -4] U [4, oo)

6. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 
Вторая производная
\frac{22 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 3\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x_{1} = 0
x_{2} = - 4 \sqrt{3}
x_{3} = 4 \sqrt{3}

7. Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-4*sqrt(3), 0] U [4*sqrt(3), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -4*sqrt(3)] U [0, 4*sqrt(3)]

8. Искомый график функции дан в приложении.