1.Найти пятый член и сумму 20 первых членов арифметической прогрессии, если первый член прогрессии равен 5, а разность прогрессии равна 3. 2.Найти пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии, если первый член прогрессии равен 4, а знаменатель прогрессии равен 2. 3.Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:-10;-5;-2, 5;... . 4.Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если первый член прогрессии равен 6, а девятый член прогрессии равен 22.

ответ:1) А5=17; S20=670

2)b5=64;S=8388604

3) бесконечность

4)S12=204

Объяснение:

Букв у нас 10, 3 буквы А, по 2 буквы М и Т, и по одной Е, И и К.
На первую позицию можно ставить одну из десяти букв, на вторую, одну из девяти и т.д. Получим: 10!
Найдём количество которыми можно составить слово математика из данного набора букв при учёте позиции той или иной буквы.
Е, И и К могут занимать только одну позицию, а вот А, М и Т можно менять местами.
Для М и Т это будет 2! и 2!, для А – 3!
С учётом порядка позиции их будет:
Тогда вероятность (согласно классическому определению):

Попробуем другой, более простой
Перестановки с повторением.
Всего у нас
Перестановка с повторением, которая даёт нам слово "Математика" всего одна, потому мы получаем вероятность:

Для решения задач на движение существует готовая формула
s = v * t - формула пути
s - расстояние         1 м 25 см = 125 см
v - скорость              54 см/ч      
t - время                           ?
t = 125 cм : 54 см/ч = 2 целых 17/54 часа = 2 ч 18,(8) мин
ответ: за 2 часа и примерно 19 минут.

Но уж если в условии задачи дали размеры гусеницы, попробуем использовать и эту величину. 
(начало пути) < 125 см > + 1 cм = 126 см (конец пути)
t = 126 см : 54 см/ч = 126/54 = 2 18/54 = 2 1/3 часа - за это время гусеница преодолеет расстояние 125 см (вынесет свой хвост за отметку 125 см)
2 1/3 часа = 2 ч + (60 : 3) мин = 2 ч 20 мин.
ответ: за 2 ч 20 мин.